1.2. Соотношения между событиями.

Пусть задано произвольное, но фиксированное пространство элементарных событий . Так как случайные события мы отождествляем с подмножествами пространства , то операции над множествами позволяют ввести аналогичные соотношения между событиями.

Для более отчетливого уяснения соотношений между событиями будем пользоваться представлением пространства элементарных событий в виде некоторой области на плоскости. При этом, элементарные события отождествим с выбором точки из этой области; события – отождествим с выбором точки в некоторой фигуре, лежащей внутри . Такие геометрические представления называются диаграммами Венна.

Для пояснения соотношений между событиями будем рассматривать эксперимент, состоящий в подбрасывании правильной шестигранной игральной кости. При каждом подбрасывании выпадает одна из граней, содержащая определенное число очков – от 1 до 6. Пространство элементарных событий этого эксперимента состоит из элементарных событий , где число очков, выпавших при одном бросании: .

1. События А и В называются равными (или равносильными), А = В, если они состоят из одних и тех же элементарных событий.

Соответствующая диаграмма Венна представлена на рис. 1.1.

Например, при подбрасывании двух игральных костей равными будут события: А= {выпадение четной суммы очков} и B={на каждой грани выпадают очки одной четности}. События А и В одновременно происходят или оба не происходят.

2. Событие A влечет за собой событие B (пишут: ), если событие B всегда происходит при появлении события A. Событие A состоит из элементарных событий, принадлежащих событию B.

Соответствующая диаграмма Венна представлена на рис. 1.1.

Для рассматриваемого эксперимента введем событие , а событие . Тогда при появлении события А произойдет и событие В, так как элементарное событие , входящее в событие А, входит и в событие В.

1. Объединением (суммой) двух событий A и В называется событие, обозначаемое (А+В), состоящее в появлении события А или события В, или обоих событий вместе: .

Иначе, событие состоит в появлении хотя бы одного элементарного события, принадлежащего событию А, или событию В.

Соответствующая диаграмма Венна представлена на рис. 1.1.

Приведенное определение объединения распространяется на любое число событий. Объединением (суммой) конечной или счетной последовательности событий A_1, A₂, …, A_i, … называется событие C, состоящее в появлении хотя бы одного из элементарных событий, принадлежащих, по крайней мере, одному из событий , и обозначаемое или :

, .

Для рассматриваемого эксперимента введем событие . Тогда , т. е. событие наступит, если выпадет грань, содержащая число очков равное или 1, или 2, или 3, или 5.

4. Пересечением (произведением) событий A и В называется событие, обозначаемое , состоящее в совместном появлении события А и события В. Событие состоит из элементарных событий, принадлежащих и событию А и событию В: .

Соответствующая диаграмма Венна представлена на рис. 1.1.

Приведенное определение пересечения распространяется на любое число событий. Пересечением (произведением) конечной или счетной последовательности событий A_1, A₂, …, A_i, … называется событие, состоящее из элементарных событий, входящих в каждое из событий последовательности, и обозначаемое или . Событие или состоит в совместном выполнении всех событий, входящих в пересечение:

, .

Для рассматриваемого эксперимента, событие состоит в выпадении грани, содержащей число очков, равное 2.

5. Противоположным по отношению к событию А называется событие , состоящее в не появлении А и, таким образом, дополняющее его до . Событие состоит из тех элементарных событий , которые не входят в событие А: .

Событию соответствует заштрихованная область на диаграмме Венна (рис. 1.1).

Для рассматриваемого эксперимента событие состоит из элементарных событий, не входящих в А.

6. Разностью двух событий A и B называется событие A\B, состоящее из элементарных событий, которые принадлежат событию A, но не принадлежат событию B: .

Событие состоит в появлении события А, но не в появлении события В, т. е. . Геометрическая иллюстрация на рис 1.1.

Рис. 1.1. Диаграмма Венна для рассмотренных соотношений между событиями.

7. Два события A и B называются несовместными, если у них нет общих элементарных событий, или события A и В не могут произойти одновременно: .

В рассматриваемом эксперименте события А и С несовместны.

7. События образуют полную группу событий если они:

1) попарно несовместны (или просто несовместными) - появление любого из них исключает появление каждого из остальных .

2) их сумма (объединение) есть достоверное событие: .

Операции объединения и пересечения меняются местами при переходе к противоположным событиям: .

Замечание. Из сформулированных свойств событий следует, что:

1. Любое событие можно представить в виде объединения (суммы) двух несовместных событий: , где .

2. Если события и несовместны, то событие содержит m + k элементарных событий.

Указанные соотношения между событиями применяются при построении вероятностной модели изучаемого эксперимента.

При построении вероятностной модели эксперимента необходимо определить:

1. пространство элементарных событий ;

2. класс событий, т.е. множество подмножеств , которые будем рассматривать;

3. меру объективной возможности наступления событий из выделенного класса.

Построенный класс событий должен удовлетворять следующим условиям: 1) множество принадлежит этому классу; 2) если событие принадлежит классу, то и его противоположное событие принадлежит классу; 3) если последовательность событий принадлежит классу, то и объединение событий и их пересечение принадлежит этому классу.

Класс событий, используемый в теории вероятностей и удовлетворяющий приведенным выше условиям, называется борелевским полем событий или алгеброй и обозначается . алгебры достаточно для описания любого экономического явления.

Класс событий, т.е. множество подмножеств , удовлетворяющий следующим условиям: 1) множество принадлежит этому классу; 2) если событие принадлежит классу, то и его противоположное событие принадлежит классу; 3) если события принадлежит классу, то и объединение событий и их пересечение принадлежит этому классу, называется алгеброй событий и обозначается А.

Таким образом, алгебра есть класс множеств, замкнутый относительно конечного числа операций дополнения, объединения и пересечения; -алгебра есть класс множеств, замкнутый относительно счетного числа этих операций.

Если содержит конечное число элементарных событий, то класс событий содержит не более подмножеств.

Пример 1.5. Рассмотрим эксперимент, состоящий в исследовании выполнения дневного задания двумя бригадами рабочих. Пространство элементарных событий этого эксперимента состоит из трех элементарных событий: , где дневное задание выполнено двумя бригадами, дневное задание выполнено одной бригадой (двумя бригадами). Класс всех подмножеств этого эксперимента состоит из подмножеств:

= .

Так как подмножества по определению являются событиями, то события класса имеют следующий смысл:

- невозможное событие не наступает при любой реализации эксперимента;

- достоверное событие наступает при любой реализации эксперимента;

={две бригады выполнили дневное задание};

= { дневное задание не выполнено одной бригадой};

{дневное задание не выполнено двумя бригадами};

= {дневное задание выполнено двумя бригадами или дневное задание не выполнено одной бригадой}.

={дневное задание выполнено двумя бригадами или дневное задание не выполнено двумя бригадами}.

={дневное задание не выполнено одной бригадой или дневное задание не выполнено двумя бригадами}.

Выполняя операции объединения и пересечения, над указанными в примере событиями мы не выйдем за пределы класса . Действительно, , или , или и т.д.