43

1. Теория вероятностей

Теория вероятностей – это раздел математики, в котором изучаются законы, управляющие случайными явлениями. Например, мы подбрасываем монету. Заранее предсказать, какой стороной она выпадет – гербом или решеткой – нельзя; сколько изделий будет забраковано ОТК завода – также заранее сказать нельзя и т. д. Приведенные примеры относятся к области случайных явлений, и в каждом из них исход заранее не предсказуем.

Возникновение теории вероятностей обычно относят к XVII веку и связывают с комбинаторными задачами азартных игр. Изучая ход и результаты различных азартных игр, Б. Паскаль (1623 – 1662), П. Ферма (1601 – 1665), Ч. Гюйгенс (1629 – 1695) в середине XVII века заложили основы классической теории вероятностей. В своих работах они неявно использовали понятия вероятности и математического ожидания случайной величины, хотя явно их не вводили. Только в начале XVIII века Я. Бернулли (1654-1705) формулирует понятие вероятности, а в 1812 году П. Лаплас определяет вероятность случайного события, как отношение числа благоприятствующих случаев появления события к числу всех возможных, при условии, что все случаи равновозможны. Однако, если исходы неравновозможны, то применить это определение вероятности, нельзя. Необходим был новый математический аппарат.

В работах Р. Мизеса (1883 – 1953) рассматривался статистический подход к определению вероятности: за вероятность некоторого исхода опыта принимается число p, к которому приближается частота появления этого исхода. Но это определение оказывается неудобным вследствие того, что последовательность частот появления некоторого исхода опыта при проведении одной серии экспериментов будет отличаться от последовательности частот появления того же исхода при проведении другой серии экспериментов. К тому же мы сможем определить не последовательность частот, а только конечное число элементов последовательности. Получить всю последовательность невозможно.

Другой подход к определению вероятности основан на использовании понятия меры множества. Эта идея была высказана Э. Борелем (1871 – 1956) и развита А. Ломницким (1881 – 1941).

Теоретико-множественная точка зрения при построении теории вероятностей была подробно изложена в монографии А. Н. Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей» в 1933 году. С этого момента теория вероятностей становится строгой математической наукой.

В конце XIX и начале XX века стали появляться более серьезные запросы, вызванные прогрессом естественнонаучного знания, которые привели к бурному развитию теории вероятностей. Эта область знаний и в настоящее время интенсивно развивается. Теория вероятностей дала жизнь самостоятельным математическим дисциплинам – теории случайных процессов, теории планирования эксперимента и теории массового обслуживания.

1. Вероятность и основные правила ее вычисления

Предметом изучения теории вероятностей являются специфические закономерности, свойственные массовым случайным явлениям посредством построения их математических моделей.

Случайное явление – это такое явление, которое при дублировании одного и того же эксперимента протекает каждый раз несколько иначе. Основные условия эксперимента, определяющие его протекание, остаются неизменными. Второстепенные же изменяются при дублировании эксперимента и вносят случайные различия в их результаты. Потому что как бы точно ни были фиксированы условия эксперимента, невозможно достичь того, чтобы при его повторении результаты полностью и в точности совпадали. В связи с различными результатами эксперимента при его дублировании, необходимо исследовать природу и структуру случайных воздействий на эксперимент. Элемент неопределенности, сложности, многопричинности, присущий случайным явлениям, требует разработки специальных методов для изучения этих явлений. Такие методы и рассматриваются в теории вероятностей.