II. Квазилинейные уравнения в частных производных второго порядка. Классификация и приведение к каноническому виду.
Для упрощения записи дальше будем использовать обозначения:
.
Общий вид квазилинейного дифференциального
уравнения второго порядка для случая,
когда неизвестная функция
зависит от двух переменных:
.
(2.1)
Здесь функции
непрерывны по
,
а
–
произвольная непрерывная по всем
переменным функция. Кроме того, уравнение
(2.1) невырожденное, т.е.
.
В каждой точке плоскости
уравнение вида (2.1) принадлежит к одному
(и только одному) из трех типов уравнений:
гиперболическому, параболическому и
эллиптическому.
Тип уравнения однозначно определяется
через функцию коэффициентов при старших
производных
:
если
,
то уравнение (2.1) имеет гиперболический
тип;если
,
то уравнение (2.1) имеет параболический
тип;если
,
то уравнение (2.1) имеет эллиптический
тип.
Функция
сохраняет знак при любом невырожденном
преобразовании координат, следовательно
тип уравнения не зависит от выбора
независимых переменных. Для каждого
типа уравнений существует такая система
координат, в которой уравнение имеет
максимально простой, или, как его принято
называть, канонический вид.
Канонический вид для уравнений гиперболического типа:
или
.
Канонический вид для уравнений параболического типа:
или
.
Канонический вид для уравнений эллиптического типа:
.
Пример
2. В области
провести исследование уравнения
:
(2.2)
а) определить тип и привести уравнение к каноническому виду;
b) найти общее решение уравнения;
c) найти частное решение
уравнения, удовлетворяющее условиям:
,
.
Решение.
А. В указанной области
,
следовательно, уравнение имеет
гиперболический тип. Составим
уравнение характеристик
,
распадающееся на два вещественных уравнения первого порядка, из которых находятся два первых интеграла:
следовательно,
первый интеграл
;
следовательно,
первый интеграл
.
Делаем замену переменных
,
которая должна привести уравнение к
канонической форме. По формулам
дифференцирования сложной функции
получаем:
;
;
;
;
.
Подставляя преобразованные производные
в исходное уравнение и обозначая
,
приводим его к каноническому виду:
.
(2.3)
В. Перепишем уравнение (2.3) в виде
.
Тогда
,
где
–
произвольная функция, зависящая только
от
.
Интегрируя полученное уравнение по , найдем, что
или
,
где
,
– произвольные (дважды дифференцируемые)
функции своих аргументов. Возвращаясь
к переменным
получаем общее решение уравнения
(2.2):
.
(2.4)
С. Выделим теперь из общего решения частное, т.е. найдем такие функции и , при которых выполнены заданные условия.
Из первого условия получаем:
.
Аналогично из второго:
.
Выражая из первого уравнения
и подставляя во второе, получаем:
,
следовательно,
,
а
.
Перейдя для удобства к другим переменным,
имеем окончательно:
,
,
где
– произвольная постоянная. Для получения
частного решения осталось подставить
найденные
и
в формулу (2.4):
Частное решение, таким образом, имеет
вид:
Задание 3.
В указанных областях для данных уравнений:
а) определить тип и привести уравнение к каноническому виду;
b) найти общее решение;
c) найти частное решение, удовлетворяющее заданным условиям.
