IV. Решение волнового уравнения по формуле д’Аламбера для бесконечной и полубесконечной струны
Пример 3.
Найти уравнение движения вынужденных
колебаний полубесконечной струны со
свободным левым концом, если в начальный
момент времени струна имеет профиль
,
начальные скорости всех точек струны
равны
,
а плотность внешних сил (рассчитанных
на единицу массы), которые действуют на
струну, равна
.
Натяжение струны равно ее линейной
плотности.
Решение.
Уравнение движения струны в условиях задачи имеет вид:
.
(4.1)
Это уравнение следует дополнить начальными условиями
(4.2)
и граничным условием на левом конце:
.
(4.3)
Таким образом, мы получили неоднородное
волновое уравнение, для решения которого
можно использовать либо интегральную
формулу представления решения, либо
метод подбора по правой части. В данном
случае правая часть
имеет простой вид и позволяет сразу
предположить вид частного решения
уравнения (4.1):
.
Подставляя функцию
в уравнение (4.1), получаем для
уравнение
,
частное решение которого легко находится:
.
Следовательно,
.
Сделаем в уравнении (4.1), начальных условиях (4.2) и граничном условии (4.3) замену переменных
.
Для функции
получим следующую задачу:
Учитывая вид граничного условия,
продолжим функции
и
на отрицательную ось четным образом:
при всех
,
Применяя формулу Д' Аламбера, находим
.
При
получаем:
.
При
,
с учетом продолжения
,
имеем:
.
Возвращаясь к функции
,
получаем решение исходной задачи:
Задание 4.
Найти решения волновых уравнений, описывающих свободные колебания бесконечной или полубесконечной струны.
где
Построить профиль струны в момент
времени
.
где
Построить профиль струны в момент
времени
.
где
Построить профиль струны в момент времени .
где
Построить профиль струны в момент времени .
где
Построить профиль струны в момент времени .
где
Построить профиль струны в момент времени .
где
Построить профиль струны в момент времени .
Задание 5.
Найти решения волновых уравнений, описывающих вынужденные колебания полубесконечной струны с заданными начальными условиями и граничным условием на левом конце.
V. Метод Фурье для гиперболического и параболического уравнения на конечном отрезке
Решение задач на конечном отрезке (нагревание конечного стержня, движение конечной струны) потребовало принципиально иных идей и методов. Наиболее простой, и вместе с тем достаточно мощный метод решения таких задач – метод разделения переменных или метод Фурье.
Покажем, как работает этот метод при решении задачи о распределении тепла в конечном стержне.
Пример 4.
Найти закон распространения тепла в
тонком однородном стержне длины π,
имеющем коэффициент температуропроводности
равный 2, если начальная температура
всех точек стержня равна нулю, его левый
конец поддерживается при постоянной
температуре
,
а правый конец и боковая поверхность
теплоизолированы. Теплообмен несвободный:
внутри стержня имеются источники и
поглотители тепла, их интенсивность (в
расчете на единицу массы стержня) равна
.
Решение. Пусть стержень расположен
вдоль отрезка
,
–
температура точки с координатой
в момент времени
.
Уравнение теплопроводности в условиях
задачи имеет вид
.
Дополним уравнение начальным
,
и граничными условиями
,
.
Заменой переменных
преобразуем задачу к виду:
(5.1)
Запишем соответствующую (5.1) задачу Штурма–Лиувилля:
(5.2)
Используя свойства собственных функций
задачи Штурма–Лиувилля, заключаем, что
.
Легко видеть, что
не является собственным числом, т.к. в
этом случае задача (5.2) имеет только
тривиальные решения. Пусть
,
тогда общее решение уравнения (5.2) имеет
вид
.
Из первого граничного условия находим,
что
из второго – что задача имеет нетривиальные
решения только при
,
где
.
Следовательно, множество собственных
чисел задачи (5.2) задается формулой
,
а соответствующие им собственные функции
суть
.
Представим функцию
в виде ряда, образованного ортогональной
на
системой
.
Из разложения
,
в силу теоремы Стеклова, получаем, что
,
при
.
Будем искать решение задачи (5.1) в виде ряда
,
(5.3)
где
– неизвестные, подлежащие определению
функции. Заметим, что в силу (5.2) граничные
условия для
выполняются автоматически. Подставим
(5.3) в уравнение (5.1) и перенесем все
слагаемые в левую часть:
.
Вновь применяя теорему Стеклова, получаем, что функции должны удовлетворять уравнениям:
,
.
(5.4)
Постоянные
были определены выше, и для нахождения
нужно рассмотреть два случая.
Если
,
то уравнение (5.4) имеет вид
,
откуда следует, что
,
где
–
любое число.Если , то
,
следовательно,
,
где
– тоже произвольные числа.
Возвращаясь к представлению (5.3), получаем:
.
Осталось найти постоянные . Для этого используем начальное условие:
.
Еще раз применяем теорему Стеклова и находим :
,
,
и далее, при всех
,
.
Следовательно,
.
Возвращаясь к функции , получаем решение исходной задачи:
.
Задание 6.
Применяя метод Фурье, найти решение следующих волновых уравнений на конечном отрезке.
Задание 7.
Применяя метод Фурье, найти решение следующих уравнений теплопроводности на конечном отрезке.
