Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего
образования
«Пермский национальный исследовательский политехнический
университет»
Кафедра вычислительной математики и механики
Уравнения математической физики
Методические указания и индивидуальные задания
для самостоятельной работы студентов
III курса специальностей вм, бм, дпм
Издательство
Пермского государственного технического университета
2016
УДК 517 (075.8)
Уравнения математической физики: методические указания для самостоятельной работы студентов III курса / сост. доцент Малыгина В.В. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2016. –
В методических указаниях приводятся примеры решения задач из курса «Уравнения математической физики» и задачи для самостоятельного решения. Предполагается, что студенты владеют математическим аппаратом из разделов «Дифференциальное и интегральное исчисление» и «Дифференциальные уравнения».
Список рекомендуемой литературы по предмету приведен в конце указаний.
Рецензент:
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры ВММ К.М.Чудинов
© ГОУВПО «Пермский
государственный технический
университет», 2016
Вводные замечания
Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов в таких областях науки и техники как механика, теплофизика, электричество, магнетизм, оптика и т.д. Возникающие при этом математические задачи (вывод которых опирается на механические или физические законы) содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики. Большинство уравнений самой математической физики есть дифференциальные уравнения с частными производными. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых неизвестная функция зависит только от одной переменной, в уравнениях с частными производными неизвестная функция зависит от нескольких переменных. Наиболее часто в приложениях встречаются дифференциальные уравнения в частных производных первого и второго порядка.
Данное пособие предназначено для студентов III курса, изучающих семестровый курс уравнений математической физики. Целью пособия является демонстрация основных методов решения простейших задач классической математической физики.
I. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка
Пример 1.
Найти решение квазилинейного уравнения первого порядка, удовлетворяющее заданным условиям.
Решение.
Точки равновесия данного уравнения
определяются из системы:
,
следовательно, множество точек равновесия
– ось
и областью, в которой определено общее
решение данного уравнения является
множество
.
Составим характеристическую систему
и найдем два линейно-независимых первых интеграла этой системы.
Так как
,
то
– один первый интеграл. Далее, так как
,
то
или
,
следовательно,
– другой первый интеграл системы.
Находим общее решение исходного
уравнения:
,
где
–
произвольная непрерывно дифференцируемая
функция,
.
Любое частное решение получается из
общего при конкретном выборе функции
.
В нашем случае, из условий задачи имеем:
.
Обозначим
,
.
Так как
,
то
,
то есть функция
найдена, а вместе с ней и частное решение
исходного уравнения:
.
Мы построили частное решение в области
.
Но в данном случае легко убедиться, что
найденное решение вместе со своими
частными производными допускает
непрерывное продолжение на ось
,
оставаясь при этом решением исходной
задачи. Следовательно,
,
.
Задание 1
Построить общее решение следующих уравнений.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Задание 2
Найти решения следующих уравнений, удовлетворяющие заданным граничным условиям:
