2 Задание на работу
Выберите исходную функцию
путем
изменения коэффициентов a,
b
и c.
Измените условия поиска:
начальную точку поиска;
точность нахождения экстремума;
условие останова поиска;
начальную величину шага.
Необходимо провести несколько опытов с целью определения экстремума заданной функции, представленной полиномом второй степени.
Результаты работы оформить в виде таблиц. По каждому опыту сделать выводы.
Примером реализации такого метода служит программа «prostep.exe», которая рекомендуется студентам для исследований и имеется в папке с лабораторными работами.
Величина регулирующего воздействия в этом случае будет изменяться после каждого периода регулирования на величину шага регулирования q согласно выражению (2). Блок-схема такой системы показана на рисунке 4.
3 Контрольные вопросы
Что такое экстремум? Виды экстремумов.
С какой целью ищутся экстремумы?
Для чего служит запоминающее устройство?
Как работает логическая схема поиска экстремума?
Для чего нужен в схеме поиска интегратор?
Для чего нужен в схеме поиска триггер?
Какова роль ключей в схемах?
4 Список литературы
Под ред. П. И. Чинаева. Самонастраивающиеся системы.–К: Наукова думка,1969.- 528 с.
Зайцев В.С. Адаптивные системы управления. Мариуполь: ПГТУ, 2010.- 76с.
Лабораторная работа № 3
Интерполяция и аппроксимация методом наименьших квадратов выборок экспериментальных данных
Цель работы: Ознакомление и закрепление знаний и умений студентов по методам обработки результатов экспериментов.
1 Основные теоретические сведения
1.1 Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа
Предположим, что при изучении некоторого явления установлено, что существует функциональная связь между некоторыми величинами x и y, описывающими количественную сторону изучаемого явления. Функция y= φ(x) при этом остаётся неизвестной, но при этом во время эксперимента установлены значения этой функции y0 , y1, y2 ,…, yn при заданных значениях аргумента x0 , x1 , x2 ,…, xn , принадлежащих отрезку [a,b].
Задача заключается в том, чтобы найти такую функцию y= φ( x), которая представляла бы неизвестную функцию на отрезке [a,b] точно или приближённо. Обычно речь идёт о нахождении такого многочлена P (x) степени ≤ n, который бы приближённо выражал функцию y= φ( x). Обычно берут многочлен, значения которого в точках x0 , x1 , x2 ,…, xn совпадают с соответствующими значениями функции y0 , y1, y2 ,…, yn . В качестве такого многочлена принимают многочлен n – й степени вида
P (x)= С0(x – x1)(x – x2)…(x – xn)+ С1(x – x0)(x – x2)…(x – xn)+
+ С2(x – x0)(x – x1)(x – x3)…(x – xn)+…+ Сn(x – x0)(x – x1)(x – x2)…(x – xn-1). (1)
Определяем коэффициенты С0, С1, С2 ,…,Сn так, чтобы выполнялись условия:
P (x0)=y0, P (x1)=y1, P (x2)=y2,…, P (xn)=yn. (2)
Положим в формуле (1) x= x0. После подстановки в равенство (2) имеем
y0 = С0(x0 – x1)( (x0 – x2)…(x0 – xn), откуда С0 = y0 / (x0 – x1)( (x0 – x2)…(x0 – xn),
Положим x= x1. Тогда получим y1 = С1 (x1 – x0)(x1 – x2)…(x1 – xn)
откуда С1= y1/ (x1 – x0)(x1 – x2)…(x1 – xn),
Таким же способом определим и остальные коэффициенты:
С2= y2/(x2 – x0)(x2 – x1)(x2 – x3)…(x2 -xn );
Сn =yn /(xn – x0)(xn – x1)(xn –x2)…(xn – xn-1) .
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим:
P(x) = y0(x – x1)(x – x2)…(x – xn)/ (x0 – x1)( (x0 – x2)…(x0 – xn)+
+ y1((x – x0)(x – x2)…(x – xn)/ (x1 – x0)(x1 – x2)…(x1 – xn)+
+ y2 (x – x0)(x – x1)(x – x3)…(x – xn)/ (x2 – x0)(x2 – x1)(x2 – x3)…(x2 -xn )+…
+ yn (x – x0)(x – x1)(x – x2)…(x – xn-1)/ (xn – x0)(xn – x1)(xn –x2)…(xn – xn-1). (3)
Эта формула называется интерполяционной формулой Лагранжа. Необходимо отметить, что если функция y= φ(x) имеет производную (n+1)-го порядка на отрезке [a,b], то ошибка R(x) при замене функции φ(x) многочленом P(x) удовлетворяет неравенству
│R(x)│= │φ(x) - P(x)│ < │(x – x0)(x – x1)…(x – xn)│(1/(n+1)!) max │ φ (n+1)(x) │.