4.3. Задача реконструкції підприємства у зв'язку із заміною асортименту продукції (задача 1)

Умова задачі

Підприємство випускає 5 видів продукції. Протягом деякого періоду часу цехи, що випускають продукцію, потрібно реконструювати й асортимент продукції потрібно цілком замінити. Реконструкції піддаються 3 цехи, і її слід провести без зупинки виробництва. Одночасно проводити реконструкцію і замінювати продукцію не можна. Усі заплановані зміни повинні бути виконані без погіршення показників виробничо-господарської діяльності підприємства. Більш того, бажано ці показники максимально поліпшити. Як критерій оптимальності розглянути максимум приросту товарної продукції і мінімум витрат за весь плановий період. Обидва критерії виражаються в деяких умовних одиницях вартості, наведених на рис. 4.1 і 4.2.

Розробка математичної моделі задачі

Весь процес переведення підприємства до нових умов роботи можна розглядати як багатокроковий. Кожен крок являє собою або реконструкцію одного з цехів, або заміну одного виду продукції. Оскільки видів продукції п’ять і три цехи, то маємо вісім кроків (етапів). Завдання полягає в ухваленні рішення на кожному кроці: проводити реконструкцію відповідного цеху чи заміняти вид продукції. Рішення на кожному кроці являє собою керування , сукупність яких забезпечує максимум приросту товарної продукції або мінімум витрат.

Стан системи характеризується двома параметрами: реконструкція одного з цехів, заміна одного виду продукції. Процес є двовимірним і легко зображується на площині. Весь період розбиваємо на кроки: 5 кроків по осі абсцис – заміна продукції, 3 кроки по осі ординат – реконструкція цеху. Перетинання осей на кожному із кроків відповідає одному з можливих станів системи.

Цех

Виріб

Рис. 4.1. Вихідні дані і результат розв’язання, якщо критерій – максимум приросту товарної продукції

Цех

Виріб

Рис 4.2. Вихідні дані і результат розв’язання,

якщо критерій – мінімум витрат

На рис. 4.1 біля кружків зазначено можливі стани перед останнім (восьмим) кроком. Стан – усі вироби замінено новими і реконструйовано тільки два цехи; стан – усі цехи реконструйовано і замінено чотири вироби з п’яти. Відповідно на прямих, що з’єднують ці два можливих стани зі станом , зазначено керування: – реконструкція цеху №3 і – заміна виробу № 5. Кожне з цих керувань умовно оптимальне, оскільки інших варіантів переведення системи зі станів і у стан не існує. Отже, останній крок умовно спланований. Дійсно, у якому б із двох можливих станів перед цим кроком не виявилася система, відомо, яке керування потрібно застосувати.

У кружках на моделях указується значення критерію оптимальності з наростаючим підсумком, причому у випадку декількох можливих шляхів у кружку вказується мінімальне значення для задач на мінімум і максимальне значення для задач на максимум. Для відпрацьовування термінології пояснимо докладніше хід обчислень на числовому прикладі рис. 4.1. На останньому кроці від до можливі два керування і . У першому випадку приріст товарної продукції становитиме = 18 ум. од., у другому – = 17. Оскільки невідомо, у якому зі станів буде система перед останнім кроком і обоє з них можливі, ті обоє керування є умовно оптимальними. Перед передостаннім (сьомим) кроком система може знаходитися в одному з трьох станів , і . Систему зі стану шляхом керування можна перевести в стан , і приріст товарної продукції на цьому кроці становитиме 14 одиниць, а всього за обидва кроки – 32 одиниці, що зазначено у відповідному кружку на рис. 4.1. Якщо система знаходиться в стані , то сумарне значення критерію – 33 одиниці. Якщо система виявиться в стані , то її можна перевести в один із двох станів: і . Для вибору можливого шляху необхідно визначити сумарне значення критерію за цими напрямках і відзначити стрілкою той шлях, що дає максимальне значення сумарного критерію. Керування, що відповідають кожному з можливих шляхів переходу системи зі станів , , , є умовно оптимальними.

Продовжуючи розрахунки подібним чином, знайдемо всі умовно оптимальні керування від останнього до першого кроку. Перед першим кроком сумарні значення критерію виявилися рівними 124 і 117 ум. од. Перехід зі станів і можливий тільки до єдиного стану . Тому керування, що забезпечує максимальний приріст продукції, буде безумовно оптимальним. Приріст товарної продукції при керуваннях і відповідно становитиме 14 і 11 одиниць. Отже, безумовно оптимальним буде керування , при якому загальне значення критерію = 138 ум. од.

Переміщаючись у зворотному напрямку від стану до стану через умовно оптимальні керування, одержуємо оптимальну траєкторію, відзначену додатковою стрілкою, і оптимальні керування.

Аналіз оптимальної траєкторії

Для одержання максимального приросту товарної продукції за плановий період необхідно:

• на першому кроці реконструювати цех №1;

• на наступних трьох кроках послідовно замінити у виробництві продукцію № 1, 2, 3;

• на п’ятому і шостому кроках виконати реконструкцію цехів № 2 і 3;

• на останніх двох кроках замінити останні два види продукції.

Розв’язання задачі за критерієм мінімуму витрат наведено на рис. 4.2. У цьому випадку в кружках відзначено значення мінімальних накопичених витрат. Як видно, оптимальні траєкторії при різних критеріях різні. Мінімальні витрати дорівнюють 84 ум. од. Для ухвалення остаточного рішення можна зробити таке: за оптимальною траєкторєю, отриманою по максимуму приросту товарної продукції, обчислити витрати, використовуючи вихідні дані рис. 4.2, і знайти відношення ефект/витрати (фондовіддача). Аналогічно для оптимальної траєкторії, отриманої за критерієм мінімуму витрат, використовуючи вихідні дані рис. 4.1, визначити приріст товарної продукції і знову знайти відношення ефект/витрати. Більш ефективним виявиться той варіант, у якого це відношення більше. Для розглянутого прикладу маємо:

• максимальний приріст товарної продукції дорівнює 138 ум. од., витрати при цьому – 93 ум. од. і фондовіддача - 1,484;

• мінімальні витрати становлять 84 ум. од., приріст товарної продукції при таких витратах дорівнює 131 ум. од. і фондовіддача – 1,559.

Отже, другий варіант кращий, але остаточне рішення залишається за керівником підприємства.