Постановка задачі оптимального резервування системи

Припустимо, маємо систему, що складається з підсистем. Витрати на резервування позначимо через , тобто витрати або вартість резервування залежать від кількості підсистем і кількості резервних елементів у підсистемах. Тоді можна записати

, (4.18)

де – кількість підсистем; x_j – кількість резервних елементів j-ой підсистеми; – вартість одного резервного елемента j-ї підсистеми.

Нехай потрібно забезпечити надійність системи більшу або рівну заданої надійності , тобто надійність системи

(4.19)

Кількість резервних елементів не може бути невід’ємною, тобто (4.20)

Тоді задачу резервування можна сформулювати в такий спосіб: визначити невід’ємні значення змінних , що забезпечують мінімальну вартість резервування (4.18) і задану надійність системи (4.19).

Функції (4.18) і (4.19) залежать від n змінних, тобто задача багатовимірна. При розв’язанні задачі методом динамічного програмування багатовимірна задача зводиться до розв’язання n одновимірних задач, у яких функціональні рівняння залежать від однієї змінної. Розглянемо методику перетворення багатовимірної задачі в n одновимірних.

Будемо розглядати вартість резервування як функцію, що залежить від кількості підсистем і заданої надійності R₀, тобто

(4.21)

у припущенні, що виконується обмеження на надійність системи (4.19). Тоді вираз (4.21) можна записати у вигляді

(4.22)

Запис (4.22) відповідає запису математичної моделі оптимізації у формі Беллмана, тобто в одному записі відбивається цільова функція й обмеження.

Для системи, що складається з однієї підсистеми, вираз (4.22) набуде вигляд

(4.23)

Отже, під час розв’язання задачі методом динамічного програмування необхідно багатовимірну задачу (4.22) подати у вигляді набору формул для визначення вартості резервування системи, що складає з 1, 2, …, n підсистем, у яких була б тільки одна змінна , як у формулі (4.23). Ідея одержання таких залежностей полягає в тому, що система з будь-якої кількості підсистем тримає в обов’язковому порядку систему з одною підсистемою.

Вартість резервування системи, що складається з однієї підсистеми,

, (4.24)

де - кількість резервних елементів підсистеми; - вартість одного резервного елемента.

Запишемо вартість системи, що складається з двох підсистем, у вигляді

, (4.25)

де – вартість резервування системи з однієї підсистеми; – вартість резервування другої підсистеми, що містить резервних елементів вартістю . Таким чином, складаємо систему, у яку окремим блоком входить система з однієї підсистеми, вартість резервування якої можна визначити заздалегідь з виразу (4.23) і (4.24). Вартість у принципі може бути і не оптимальною, але в методі динамічного програмування розв’язок на останньому етапі повинне давати найбільший виграш, тобто вартість повинна бути обов’язково оптимальною. Це виражається записом виду

. (4.26)

Надійність системи з двох підсистем запишеться у вигляді

де надійність уже визначена виразом (4.23).

Тоді

і (4.27)

Другу підсистему можна подати у вигляді системи, що складається з однієї підсистеми, тобто за аналогією з (4.23):

(4.28)

Тоді тобто одержуємо рівняння з однією змінною і виконуємо оптимізацію по :

(4.29)

Вирази (4.23) і (4.29) являють собою математичну модель задачі резервування системи, що складається з двох підсистем.

Одержимо математичну модель задачі резервування системи, що складає з трьох підсистем. Будуємо систему за аналогією.

Надійність системи з двох підсистем відповідно до рівняння (7.29) обмежена надійністю першої підсистеми, отже, можна записати

тоді ,

тобто

Знову маємо функцію однієї змінної і виконуємо оптимізацію за :

(4.30)

Таким чином, математичну модель задачі резервування системи, що містить три підсистеми, утворять рекурентні формули (4.23), (4.29) і (4.30).

Тепер нескладно записати рекурентні формули для системи, що складається з підсистем:

(4.31)

………………………………………………….

У цьому випадку спочатку вибирають першу підсистему, потім до неї підбирають інші підсистеми. Часто роблять навпаки, тобто здійснюють резервування останньої підсистеми на першому кроці. Тоді розрахункові формули мають вигляд:

(4.32)

………………………………………………………..

Приклад 3. Для системи, що складається з трьох підсистем, визначити оптимальне резервування, що забезпечує надійність роботи не менше = 0,98. Підсистеми складаються з однотипних елементів, надійність яких для першої підсистеми , другої - , третьої - Вартість одного резервного елемента: першої підсистеми - = 2 ум. од. (умовних грошових одиниць), другої - = 1, третьої = 3 ум. од..

Розв’язання. Вихідну систему подано на рис. 4.8. Окільки надійність останньої підсистеми менша, то зручно на першому кроці встановити надійність третьої підсистеми і до неї за надійністю підібрати другу і першу підсистеми, тобто математична модель буде мати вигляд:

Рис. 4.8. Схема вихідної системи

Складемо допоміжну табл. 4.16 надійності підсистем у залежності від кількості резервних елементів. Резервні елементи включаються паралельно робочому елементові, тому надійність підсистеми визначають за формулою

,

де – кратність резервування -ї підсистеми.

Таблиця 4.16