§ 12. Метод Якоби

Вспомним, что если – ортогональная матрица, приводящая матрицу к диагональному виду: , то столбцы – собственные вектора матрицы , а элементы диагональной матрицы – ее собственные значения.

Ортогональные матрицы

Определение. Матрица

называется ортогональной, если ее столбцы ортонормированны, то есть

.

Следствие. Для ортогональной матрицы ее обратная матрица равна ее транспонированной, т.е. или, что то же самое, .

Еще одно следствие. Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица. В самом деле, если и , то

.

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду.

Если матрица содержит в своих столбцах нормированных собственных векторов симметричной матрицы , то

Доказательство этого утверждения сводится к последовательному выполнению двух матричных умножений. Вычисляя произведение , учитываем, что произведение матриц есть матрица, столбцы которой представляют собой произведение матрицы – первого сомножителя на соответствующие столбцы второго сомножителя. Следовательно,

.

Выполняя второе умножение, получим:

,

чтобы убедиться в правильности конечного результата, достаточно вспомнить, что:

1. произведение двух матриц есть матрица, -й элемент которой есть произведение -й строки первой матрицы-сомножителя на -й столбец второй матрицы-сомножителя;

2. столбцы матрицы ортонормированны, т.е.

.

Верно, кстати, и обратное утверждение: если – ортогональная матрица, приводящая матрицу к диагональному виду: , то столбцы – собственные вектора матрицы , а элементы диагональной матрицы – ее собственные значения.

Можно убедиться на подробно рассмотренном в § 5 примере, что если занести в матрицу собственные вектора:

(12.1)

и вычислить матричное произведение

(12.2)

то в результате действительно получится диагональная матрица с собственными значениями матрицы .

На этом факте линейной алгебры и основан итерационный метод решения задачи собственных значений, известный как метод Якоби. Метод этот заключается в следующем:

а) пусть дана симметричная матрица ;

б) предположим, что мы можем определить такую ортогональную матрицу , которая в результате преобразования

(12.3)

приводит к матрице , которая в каком-то смысле ближе к диагональной, чем . Смысл слов «ближе к диагональной» пока не уточняем. Заметим, что матрица подобна и, следовательно, имеет те же собственные значения;

Подобные матрицы. Матрицы и подобны, если , где – невырожденная матрица.

Подобные матрицы имеют одинаковые собственные значения. В самом деле, пусть – собственное значение и – соответствующий собственный вектор матрицы , т.е. . Введем вектор или , что то же самое. Тогда

,

т.е., если является собственным значением матрицы , то оно является собственным значением матрицы .

в) для полученной матрицы аналогичным образом находим ортогональную матрицу и выполняем преобразование

; (12.4)

г) эти преобразования повторяем до тех пор, пока после какого-то -го преобразования не получим диагональную матрицу (точнее очень близкую к диагональной)

. (12.5)

Отметим, что, суммируя эти шаги, можно записать

, (12.6)

где

(12.7)

является ортогональной матрицей как произведение ортогональных матриц.

В результате этой серии преобразований, как отмечалось ранее, мы должны получить на диагонали матрицы собственные значения матрицы и собственные вектора в столбцах матрицы ;

д) остается решить один, но существенный вопрос: как получать матрицы , чтобы они обеспечивали сходимость процесса. В 1846 г. немецкий математик Карл Якоби доказал, что сходимость обеспечивается при следующем методе выбора матриц:

1. из всех внедиагональных элементов матрицы выбирается наибольший по модулю – ;

2. строится ортогональная матрица , которая отличается от единичной только элементами, стоящими на пересечении -х и -х строк и столбцов:

. (12.8)

Угол определяется таким образом

, (12.9)

чтобы после преобразования элемент , то есть -й элемент -й строки, оказался равным нулю.

Пример.

Характеристическое уравнение этой матрицы представляет собой уравнение третьей степени. Таким образом, для собственных значений и собственных векторов нетрудно получить аналитическим путем точные значения:

Теперь выполним несколько итераций Якоби и сравним полученный результат с точным решением:

Как видим, матрица неуклонно приближается к диагональной, с собственными значениями исходной матрицы на диагонали. Если мы попробуем согласно (12.7) определить собственные вектора

,

то увидим, что и они близки к аналитическому решению.

Литература

11.1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1978. – 304с.

16