- •Основные понятия и определения сплошной среды
- •Кинематика сплошных сред
- •Скалярное поле
- •Свойства вектора градиента
- •Свойства линии тока
- •Расход сплошной среды через поверхность
- •1.3. Определение наличия источников и стоков
- •1.4. Определение параметров вращательного движения
- •1.5. Поток вектора скорости среды через поверхность единичного куба
- •II. Исследование деформированного и напряженного состояния в точке абсолютно упругого тела
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Исследование деформированного состояния в точке абсолютного упругого тела
- •2.3. Исследование напряженного состояния в точке абсолютно-упругого тела
- •Обобщенный закон Гука
- •Полная система уравнений теории упругости
- •4. Динамика идеальной и вязкой жидкости
- •Режимы течения. Число рейнолдса.
- •5.Вязкоупругие жидкости.
- •5.1. Модель Максвелла
- •5.2. Модель Фойгта
- •5.3. Модель Кельвина
Обобщенный закон Гука
Теория упругости устанавливает и определяет связь между напряжениями и деформациями, возникающими в материале под действием внешних сил. Эта связь осуществляется с помощью закона Гука.
Для изотропного упругого тела зависимость между деформациями и напряжениями имеет более простую форму.
Пусть прямоугольный параллелепипед вещества с ребрами, равными единице, находится под действием нормальных растягивающих напряжений (см. рис. 5.2)
Опыт показывает, что в области упругих свойств напряжение и деформация пропорциональны между собой, т.е.
(5.12)
где Е — коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости и являющийся физической характеристикой упругих свойств материала,
Однако, вместе с тем, эксперименты показывают, что удлинение под действием напряжения вдоль оси z приводит к пропорциональному укорочению вдоль двух других осей, т.е. (см. рис. 5.2)
(5.13)
где v — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом Пуассона и являющийся физической характеристикой упругих свойств материала, причем 0 < v < 0,5.
Таким образом, при действии нормальных напряжений существуют два коэффициента пропорциональности Е и V.
Рассмотрим суммарную деформацию вдоль оси z от одновременного действия сразу трех нормальных напряжений. Суммарная деформация будет складываться из трех деформаций, получаемых от действия сразу трех напряжений (см. рис. 5.2):
(5.14)
где нижний индекс показывает, вдоль какой оси деформация, а верхний — от какого напряжения.
От действия напряжения получим деформацию вдоль оси z,
; от напряжения получим; от напряжения получим .
Складывая все составляющие деформации ег, в (5.14) получим формулу для £ги, рассматривая аналогично для осей х и у, запишем:
Хорошо доказана экспериментально пропорциональность между касательными напряжениями и угловыми деформациями:
где G = — модуль упругости при сдвиге, он, как минимум в 2 раза меньше, чем Е.
Формулы (5.16) выражают закон Гука при сдвиге.
Все шесть выражений (5.15) и (5.16), определяющих связь между напряжениями и деформациями, носят название обобщенного закона Гука.
Примечание.
1) Из формул (5.15) и (5.16) легко можно выразить величины напряжений через деформации.
2) Формулы закона Гука применимы только в области упругих свойств материала.
Полная система уравнений теории упругости
Для решения задач теории упругости имеется полная система уравнений, которая включает в себя:
Три уравнения равновесия, получаемые из уравнений движения сплошной среды (см. (3.26)) при
где Fx об — проекция объемной силы на ось х.
Шесть уравнений Коши связи перемещений и деформаций:
Шесть уравнений обобщенного закона Гука связи напряжений и деформаций:
Всего имеем 15 уравнений, при заданных объемных силах, Е и v с пятнадцатью неизвестными:
Для однозначного решения системы в дополнение к системе должны задаваться граничные условия на поверхности тела:
— на всей поверхности тела заданы поверхностные силы или заданы перемещения;
— на части поверхности заданы поверхностные силы, а на остальной перемещения.
Примечание. Система уравнений при заданных граничных условиях имеет единственное решение.
Задача 5(4.1)
Тензор напряжений равен:
Тензор деформаций равен:
С единичным кубом происходят угловая и линейная деформации.
Задача 6(5)