- •Основные понятия и определения сплошной среды
- •Кинематика сплошных сред
- •Скалярное поле
- •Свойства вектора градиента
- •Свойства линии тока
- •Расход сплошной среды через поверхность
- •1.3. Определение наличия источников и стоков
- •1.4. Определение параметров вращательного движения
- •1.5. Поток вектора скорости среды через поверхность единичного куба
- •II. Исследование деформированного и напряженного состояния в точке абсолютно упругого тела
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Исследование деформированного состояния в точке абсолютного упругого тела
- •2.3. Исследование напряженного состояния в точке абсолютно-упругого тела
- •Обобщенный закон Гука
- •Полная система уравнений теории упругости
- •4. Динамика идеальной и вязкой жидкости
- •Режимы течения. Число рейнолдса.
- •5.Вязкоупругие жидкости.
- •5.1. Модель Максвелла
- •5.2. Модель Фойгта
- •5.3. Модель Кельвина
5.1. Модель Максвелла
Последовательное соединение пружины и демпфера
Запишем систему уравнений, отражающую функциональную зависимость деформаций и напряжений в модели Максвелла, считая, что и— напряжение и деформация в упругом элементе,и—— в вязком элементе, и — на всей модели:
Дифференцируя по времени второе и третье уравнение в и подставляя производные деформаций во второе продифференцированное уравнение, с учетом первого, получим дифференциальное уравнение:
которое является реологическим уравнением модели Максвелла. Испытание модели Максвелла на ползучесть.
Начальные условия следующие : при t > 0; а = а0. Решение дифференциального уравнения при данных начальных условиях будет:
Следовательно, графически вид отклика модели на воздействие будет таким, как показано на графике e(t):
Как видно из рисунка, модель мгновенно реагирует на воздействие, т.е. растягивается на величину , проявляя упругие свойства, и далее монотонно растягивается, причем угол наклона прямой равен .
Видно, что при модель Максвелла превращается в ньютоновскую жидкость, т.е. в чисто вязкий материал, а прив чисто упругий материал.
При испытании модели Максвелла на релаксацию начальными условиями воздействия будут: при t > 0, . Тогда решениемуравнения является выражение:
где - постоянная модель Максвелла, имеющая размерность времени (сек).
Постоянная 0 называется временем релаксации, которая показывает, за какое время величина отклика уменьшится в е раз.
Графики воздействия и отклика модели показаны на рисунке.
Задача №8
Дано:
1.)
2.)
5.2. Модель Фойгта
Параллельное соединение вязкого и упругого элементов.
Система уравнений связи деформаций и напряжений для модели Фойгта имеет вид:
Подставляя третье и четвертое уравнения во второе, с учетом первого уравнения, получим:
Выражение есть дифференциальное уравнение связи деформаций и напряжений в модели Фойгта. Материал, подчиняющийся данной модели, ведет себя совсем иначе, чем модель Максвелла.
При испытании на ползучесть, т.е. при задании воздействия t > 0, , решением уравнения будет:
где -постоянная модель Фойгта, имеющая размерность времени.
Однако в данном случае, являясь физической характеристикоймодели, характеризует время запаздывания модели на внешнеевоздействие. Графики воздействия и отклика модели Фойгта при испытании на ползучесть представлены на рисунке:
При испытании модели Фойгта на релаксацию напряжений в начальный момент времени необходимо мгновенно растянуть модель на величину е0. Однако воссоздать такой режим воздействия невозможно, т.к. слагаемое в уравнении при ступенчатом воздействии должно принимать бесконечно большое значение. Поэтому в модели Фойгта напряжение не релаксирует
Задача №9
Дано:
Пусть , где, тогда
5.3. Модель Кельвина
Приведенные выше модели можно усложнить, добавив третий элемент — упругий элемент к модели Фойгта. Такая модель вязко-упругой среды называется моделью Кельвина
Система уравнений связи деформаций и напряжений на концах модели Кельвина имеет следующий вид:
где— деформация и напряжение на модели Фойгта.Исключая из уравнений получим
Уравнение можно привести к виду:
Решением реологического уравнения модели Кельвина при испытании на ползучесть, т.е. при t > 0, , будет:
Решением при испытании на релаксацию напряжений, т.е. при t > 0, е = е0, является:
Графики воздействия и откликов модели Кельвина представлены на рисунках.
Как видно из анализа вышеприведенных простейших моделей Максвелла, Фойгта и Кельвина, различные комбинации упругого и вязкого элементов позволяют по разному смоделировать истинное поведение вязкоупругих материалов, и варьируя в дальнейшем вязкими и упругими Е — свойствами, подобрать их оптимальными для требуемых условий. Например, получив из экспериментов постоянную времени релаксации материала бумаги, можно оценить скорость печати, чтобы материал бумаги успевал полностью восстановить свою форму перед новым циклом печати.
Задача №10
Дано: ;