- •Основные понятия и определения сплошной среды
- •Кинематика сплошных сред
- •Скалярное поле
- •Свойства вектора градиента
- •Свойства линии тока
- •Расход сплошной среды через поверхность
- •1.3. Определение наличия источников и стоков
- •1.4. Определение параметров вращательного движения
- •1.5. Поток вектора скорости среды через поверхность единичного куба
- •II. Исследование деформированного и напряженного состояния в точке абсолютно упругого тела
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Исследование деформированного состояния в точке абсолютного упругого тела
- •2.3. Исследование напряженного состояния в точке абсолютно-упругого тела
- •Обобщенный закон Гука
- •Полная система уравнений теории упругости
- •4. Динамика идеальной и вязкой жидкости
- •Режимы течения. Число рейнолдса.
- •5.Вязкоупругие жидкости.
- •5.1. Модель Максвелла
- •5.2. Модель Фойгта
- •5.3. Модель Кельвина
2.3. Исследование напряженного состояния в точке абсолютно-упругого тела
Для определения напряженного состояния тела необходимо по величинам уже известных деформаций определить компоненты тензора напряжений Р и построить вектор полного напряжения, действующего по наклонной площадке, задаваемой единичным вектором ОМ. Компоненты тензора Р вычисляются по формулам обобщенного закона Гука с использованием уже рассчитанных относительных деформаций.
—нормальные напряжения, действующие перпендикулярно координатным плоскостям yOz, xOz, xOy соответственно. Индекс при о показывает ту координатную ось, которой это напряжение параллельно; вектор положительного нормального напряжения совпадает с положительным направлением внешней нормали к площадке, вектор отрицательного нормального напряжения направлен против внешней нормали;
—касательные к площадке напряжения. Первый индекс в обозначении касательного напряжения соответствует оси, которая является нормалью к плоскости, по которой действует напряжение. Второй индекс обозначает ось, параллельно которой действует касательное напряжение. Размерность напряжений — Н/м2.
Тензорное поле напряжений записывается в виде матрицы с численными значениями элементов:
Компоненты тензора имеют рассчитанные по формулам (2.5), (2.6) числовые значения в точке М.
Наклонная площадка проходит через точку М перпендикулярно вектору
единичной нормали ОМ с направляющими косинусами 1, т, п. Поэтому эта площадка отстоит от начала координат на расстоянии единицы длины и отсекает на координатных осях отрезки соответственно а, Ь, с, которые могут быть вычислены через 1, т, п
следующим образом: а = 1/1 на оси Ox, b = 1/m на оси Оу, с=1/л на оси Oz (рис. 2.2,а).
Если какая-либо из компонент 1, т, п равна нулю, то это означает, что площадка соответствующую ось не пересекает, то есть параллельна ей. Чертеж наклонной площадки выполняется так, как
показано на рис. 2. 2, б. Найдем вектор полного напряжения рп в точке М на данной наклонной площадке. Для этого вычислим проекции этого вектора через компоненты тензора напряжения (2.7) по формуле:
Вектор полного напряжения а точке М на наклонной поверхности равен:
На чертеже выполнить построение вектора полного напряжения в точке М по его проекциям на оси так, как показано на рис. 2.2. При этом положительные проекции откладываются в выбранном масштабе, в положительном направлении оси отточки М, а отрицательные — в отрицательном направлении.
Произведем разложение вектора полного напряжения рп ,в точке М на наклонной площадке на нормальное и касательное напряжения.
Нормальное напряжение оп равно:
Величина касательного напряжения тп определяется по формуле:
На рис. 2.3 откладываем в выбранном масштабе положительное нормальное напряжение ап от точки М в положительную сторону
нормали ОМ , если отрицательно нормальное напряжение оп — то
против нормали ОМ . Затем с рис. 2.2 на рис. 2.3 переносится вектор рn и достраивается параллелограмм напряжений
Таким образом изображается на рисунке вектор касательного напряжения тn, действующий на наклонной площадке, задаваемой п.
Примечание. Можно координатные оси, наклонную площадку, вектора п, тn, ап и рn выполнять разными цветами или линиями различной толщины. Все построения можно выполнить и на одном чертеже.
Задача №3(2.3)
Заданы проекции вектора напряжения в точке М по наклонной площадке, направляющие косинусы 1,m, n углов единичного вектора внешней нормали к этой площадке .
Требуется:
2. Записать тензор напряжения, если известно, что
1. Найти нормальное и касательноенапряжения, действующие по этой площадке. Найти угол между векторамии. Графически изобразить наклонную площадку и векторы,,и .
3. Записать и построить на нужных гранях единичного куба вектор: рх (для вариантов 61-70), Ру (для вариантов 71-80), pz (для вариантов 81-90).
Тензор напряжения равен: