- •Основные понятия и определения сплошной среды
- •Кинематика сплошных сред
- •Скалярное поле
- •Свойства вектора градиента
- •Свойства линии тока
- •Расход сплошной среды через поверхность
- •1.3. Определение наличия источников и стоков
- •1.4. Определение параметров вращательного движения
- •1.5. Поток вектора скорости среды через поверхность единичного куба
- •II. Исследование деформированного и напряженного состояния в точке абсолютно упругого тела
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Исследование деформированного состояния в точке абсолютного упругого тела
- •2.3. Исследование напряженного состояния в точке абсолютно-упругого тела
- •Обобщенный закон Гука
- •Полная система уравнений теории упругости
- •4. Динамика идеальной и вязкой жидкости
- •Режимы течения. Число рейнолдса.
- •5.Вязкоупругие жидкости.
- •5.1. Модель Максвелла
- •5.2. Модель Фойгта
- •5.3. Модель Кельвина
Свойства линии тока
1 .Через каждую точку пространства проходит только одна линия тока, т.е. линии тока не пересекаются.
2. Для стационарного движения линия тока является траекторией частиц, т.е. частица не может перейти с одной линии тока на другую линию.
Трубка тока — часть движущейся сплошной среды, заключенной внутри поверхности, образованной линиями тока, проведенными через каждую точку замкнутого контура.
Если замкнутый контур бесконечно мал, то такую конфигурацию называют струйкой.
Следует отметить, что поверхность трубки тока является непроницаемой для частиц сплошной среды, т.к. нет составляющих вектора скорости, направленных перпендикулярно поверхности трубки тока.
Дивергенция или расхождение векторного поля скоростей определяется формулой скалярного произведения:
и определяет наличие или отсутствие источников или стоков в движущейся сплошной среде. Так, если
divV = 0 — отсутствуют источники и стоки;
divV > 0 — имеются источники; (2.5)
divV < 0 — имеются стоки.
Если в результате вычислений по формуле (2.4) получилась функция координат, то, решив неравенства (2.5), можно определить области пространства, где присутствуют источники и стоки.
Ротор или вихрь в данной точке определяет наличие и величину угловой скорости, определяющей вращательную составляющую движения.
Ротор вычисляется по следующей формуле:
Если rotV= 0 — имеет место вращательное движение, имеются
вихри; rotV = 0 —движение безвихревое, отсутствует элемент вращательного движения.
Само векторное поле угловых скоростей определяется выра-
жением:
Следует отметить, что еслиrotV = 0 ,то движение может быть потенциальным, т.е. существует скалярное поле, задаваемое функцией Ф(х,у,z), такое, что
gradФ = V. (2.8)
Сама функция Ф определяется выражением:
Если найденное выражение по формуле (2.9) удовлетворяет условию (2.8), то функция Ф является потенциалом поля скоростей. Определение поверхности (линии) равного уровня приведено в лекции 1.
Следствие. Линия равного уровня потенциала поля скоростей и линия тока пересекаются в каждой точке под прямым углом. Это следует из формулы (2.8).
Расход сплошной среды через поверхность
Расход Qv сплошной среды через поверхность S при заданном поле скоростей определяется формулой:
где dS — элементарная площадка поверхности S, имеющая внешнюю нормаль n (см. рис. 2.2).
Рис. 2.2
Выражение (2.10) определяет, согласно размерности, объемный расход сплошной среды
Массовый расход — масса сплошной среды, проходящая через поверхность S за единицу времени:
где ρ — функция плотности сплошной среды.
Весовой расход — вес сплошной среды, проходящей через поверхность S за единицу времени:
где g — ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2.
Для определения расхода сплошной среды через замкнутую поверхность удобно пользоваться формулой Гаусса-Остроградского:
где V — объем пространства, ограниченный замкнутой поверхностью S.
Для определения потока вихря скорости через некоторую поверхность сплошной среды необходимо вычислить циркуляцию Г вектора скорости по замкнутому контуру, используя формулу Стокса:
где S — поверхность, ограниченная замкнутым контуром IABCD (см. рис. 2.2), a dl — элемент замкнутого контура с заданным направлением обхода.