1. Явный метод Эйлера;

2. Неявный метод Эйлера;

3. Метод трапеций.

Методы Эйлера относятся к классу методов Тейлора первого порядка, поскольку основаны на разложении функции в ряд Тейлора и отбрасывании членов второго и следующих порядков малости. Их также называют методами прямоугольников. Методы основаны на аппроксимации подынтегральной функции полиномом нулевой степени – константой на заданном отрезке интервала. Для такой аппроксимации достаточно одной точки – любого значения подынтегральной функции в любом узле; это значение считается постоянным на всем промежутке между соседними узлами. При выборе левой или правой границ шага разбиения в качестве значения на всем частичном интервале локальные методические ошибки имеют один и тот же порядок.

В методе трапецийиспользуются обе границы частичного интервала. На каждом элементарном отрезке аргумента x участок кривой интегрирования представляет собой отрезок прямой – две ординаты и отрезок оси абсцисс вместе с этой прямой ограничивают фигуру трапецеидальной формы, что и дает название этому методу кусочно-линейной аппроксимации подынтегральной функции. Приближенное значение интеграла определяется площадью трапеции.

подробно о методах: системы обыкновенных дифференциальных уравнений представимы либо в общем виде, либо в форме Коши.

Общий вид:

Форма Коши:

Производную на основании известной теоремы о среднем в интервале t_n, t_n+1можно заменить отношением приращенийΔx/Δt, где

,

.

Примечание:в дальнейшем будем считать за правило:x(t_n)–точное значение в момент времениt_n, где n– номер узла, x_n– приближённое значение.

Тогда, определяя производную для левой точки интервала, получим следующие выражения:

8.4.1. Явный метод Эйлера

Общий вид:

Форма Коши:

Определяя производную для правой точки интервала, получим:

8.4.2. Неявный метод Эйлера

Общий вид:

Форма Коши:

Выражения для явного метода Эйлера применительно к системе уравнений в форме Коши приводит к набору алгебраических функций; остальные выражения –системы трансцендентных нелинейных уравнений.

8.4.3. Метод трапеций

Суммируя выражения для явного и неявного методов Эйлера, получим формулы метода трапеций.

Общий вид:

Форма Коши:

8.4.4. Оценка локальной методической погрешности ЯМЭ и НЯМЭ

Поскольку производная определяется полиномом ряда Тейлора первой степени, то локальная ошибка метода определяется следующими членами полинома:

Для явного метода Эйлера:

Для неявного метода Эйлера:

Данные методы –одного порядка точности. Здесьt_n<τ<tn₊₁.

Выводы:

• Очевидно, что точность методов интегрирования зависит от величины шага интегрирования;

• Очевидно, что точность методов первого порядка Эйлера невысока, так что при их применении для обеспечения малой локальной методической ошибки следует интегрировать с малой величиной шага;

• Очевидно также, что локальная методическая ошибка метода трапеций на порядок меньше в силу того, что методические ошибки явного и неявного методов Эйлера имеют противоположные знаки;

• Очевидно также, что при малых значениях вторых производных и малой величине шага локальная методическая ошибка может оказаться существенно меньше заданной;

• Очевидно также, что для сохранения локальной методической ошибки в заданных пределах требуется выбирать шаг, учитывая вторую производную;

• Очевидно также, что в процессе интегрирования можно управлять величиной шага интегрирования с целью сокращения общего числа шагов.

В итоге решение системе уравнений вида f(x)=0.

Такие системы, как правило, решаются итерационными методами.