8.1. Построение математической модели бис

На данном этапе математические модели получают на основе компонентных и топологических уравнений (законов Кирхгофа).

Для получения математической модели схемы (ММС) необходимо представить все компоненты их эквивалентными схемами, содержащими типовые двухполюсники: независимые источники напряжения и тока (E, J), зависимые от времени источники напряжения и тока (E(t), J(t)), линейные элементыR, L, C, управляемые током или напряжением источники напряженияE(i), E(U), управляемые током или напряжением источники токаJ(i), J(U), нелинейные элементы R(U), L(U), C(U), R(i), L(i), C(i). Вольтамперные связи и функциональные зависимости двухполюсников приведены в табл.8.1.

Таблица 8.1.

Вольт-амперные характеристики двухполюсников

Двухполюсники	Линейная связь	Нелинейная связь
Источник напряжения, управляемый напряжением
Источник напряжения, управляемый током
Источник тока, управляемый током
Источник тока, управляемый напряжением
Резистор	, ,	,
Конденсатор	, ,	, ,
Катушка индуктивности	, ,	,
Независимый источник напряжения
Независимый источник тока

8.2. Методы формирования математических моделей ис

Как было отмечено выше, в основе методов формирования математических моделей лежат законы Кирхгофа. Для каждого метода формирования ММС характерны свои правила выбора системы исходных топологических уравнений и базиса независимых переменных.

В зависимости от этого выбора полученные математические модели - системы уравнений – могут отличаться по виду и по размерности.

Примечание:в наиболее общем случае они представляют собой системы интегро-дифференциальных уравнений. Такие модели целесообразно использовать в открытых системах моделирования, допускающих применение нескольких методов решения. В процессе решения полученные аналитические модели подвергаются преобразованиям путем алгебраизации. В результате получаются либо системы конечно-разностных уравнений, либо системы алгебраических выражений. Алгебраизированные системы исходных уравнений, в свою очередь, подвергаются линеаризации. Решение таких систем уравнений непосредственно реализуется в виде алгоритмов и программ.

Таким образом, ММС можно классифицировать по виду получающихся выражений, выделив ряд классов:

• Системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений;

• Системы нелинейных дифференциальных уравнений;

• Системы нелинейных алгебраических уравнений;

• Системы линейных алгебраических уравнений;

• Системы алгебраических выражений.

В среде разработчиков наибольшее распространение получил Метод узловых потенциалов (МУП).

В методе узловых потенциалов в качестве независимых переменных используются потенциалы внутренних узлов схемы относительно некоторого опорного узла, потенциал которого считается равным нулю. Внутренним узлом называется точка соединения двух или более компонентов схемы, которая не связана непосредственно с источником напряжения.

В основе метода лежит первый закон Кирхгофа.

Если токи выразить через узловые потенциалы, то для схемы, содержащей Nвнутренних узлов, с помощью первого закона Кирхгофа мы получим систему Nуравнений относительно неизвестных– потенциалов внутренних узлов. В векторной форме эта система будет иметь видI(U)=0, гдеI=(I₁, I₂, …, I_N)– вектор узловых токов;U=(U₁, U₂, …, U_N) – вектор узловых потенциалов; j-я компонента вектора I определяется как алгебраическая сумма токов ветвей, связанных с j-м узлом:

, (8.1)

гдеI_j^k–ток k-й ветви, связанной сj-м узлом;n_j– количество ветвей, связанных с j-м узлом.

При наличии в схеме емкостей и индуктивностей метод узловых потенциалов позволяет получить математическую модель схемы в виде системы интегро-дифференциальных уравнений.

Одним из способов решения такой системы является способ, основанный на использовании неявных формул интегрирования. Основная идея способа состоит в сведении системы интегро-дифференциальных уравнений на каждом шаге интегрирования к системе нелинейных алгебраических уравнений. Исходя из этого, на (n+1)-м шаге интегрирования на основании метода узловых потенциалов мы можем формировать систему нелинейных алгебраических уравнений относительно вектора узловых потенциаловU_n+1:

.

Для решения данной системы в настоящее время, как правило, используется итерационный метод Ньютона-Рафсона, который будет подробно рассмотрен далее. При этом на m-й итерации вычисляется вектор приращений узловых потенциалов ΔU_n+1,m путем решения системы линейных алгебраических уравнений:

(8.2)

где – матрица узловых проводимостей (матрица Якоби).

Далее вычисляются скорректированные значения векторов узловых потенциалов на (n+1)-м шаге

.

Итерационный процесс обычно заканчивается, когда норма вектора приращений узловых потенциалов оказывается меньше наперед заданной величины

.

На основании вышеизложенного можно сделать вывод, что при использовании метода узловых потенциалов для анализа схемы необходимо формировать не сами узловые уравнения, а систему (8.1), с помощью которой они решаются. Таким образом, следует иметь алгоритмы формирования матрицы Якоби и вектора узловых токов.

Заметим, что j-я компонента вектора узловых токов I определяется как алгебраическая сумма токов ветвей (т.е. выводов компонентов), связанных с j-м узлом, по формуле (8.2); j,i-й элемент матрицы полных узловых проводимостей определяется как алгебраическая сумма частных производных токов выводов компонентов, связанных с j-м узлом, по напряжению в i-м узле:

Отсюда следует, что вектор узловых токов и матрица полных узловых проводимостей могут быть вычислены при последовательном обращении к математическим моделям всех компонентов схемы. При этом каждый компонент дает определенные составляющие для элементов вышеуказанных вектора и матрицы.

Исходными данными для модели являются параметры модели и значение напряжений на выходах компонента на pпредыдущих шагах интегрирования, где p– порядок формулы интегрирования. Если схема замещения компонента содержит индуктивности, то для модели такого компонента необходимы значения токов через индуктивности на p предыдущих шагах интегрирования.

Рассмотрим действия, которые производятся при обращении к модели k-ого компонента, имеющего n выводов и подсоединенного в схеме к узламj₁, j₂, …, j_n.

Вычисляются токи выводов компонента по аналитическим зависимостям, связывающим токи выводов и напряжения на выводах компонента. Например, для резистора, включенного между узлами j₁иj₂,

,

.

Эти токи отличаются только знаком .

Токи выводов суммируются с соответствующими элементами вектора узловых токов: ,i=1,2,…,n.

Вычисляются производные токов выводов по напряжениям на выводах компонента ,i,l=1,2,…,n.Для резистора эти величины равны

, , , .

Вычисленные производные суммируются с соответствующими элементами матрицы полных узловых проводимостей

, i,l=1,2,…,n.

Следует отметить, что рассмотренные операции суммирования производятся только для внутренних узлов схемы.

Ряд ограничений, свойственных методу узловых потенциалов, носит, как правило, чисто теоретический характер и практически несущественен. Многие из этих ограничений при необходимости могут быть устранены с помощью специальных приемов. Например, при наличии в схеме «подвешенного» источника напряжения можно последовательно с ним включить два резистора, одинаковых по величине, но противоположных по знаку, затем любой из них добавить к источнику напряжения и заменить его эквивалентным источником тока. При этом в схеме появится один дополнительный узел.