1.6 Методы приведения дифференциального уравнения к системе дифференциальных уравнений в нормальной форме. Расчеты начальных условий

Цифровое моделирование заключается в решении дифференциальных уравнений численными методами на компьютере. Дифференциальные уравнения могут быть обыкновенными и в частных производных. Далее рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения.

В дифференциальном уравнении n-го порядка в качестве неизвестных величин используются функция у и её n производных по времени, а входным сигналом является сигнал х и его m (mn) производных:

(1.27)

Нормальная форма записи дифференциального уравнения имеет вид

(1.28)

Уравнение (1.27) и эквивалентная ему система (1.28) имеет бесконечное множество решений. Единственное решение выделяют из множества с помощью дополнительных условий. В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач.

Первый тип – это задачи Коши, или задачи с начальными условиями:

для (1.27)

или у₁₀, у₂₀,…,у_n0 для (1.28)

Второй тип – краевые (или граничные) задачи, в которых дополнительные условия заданы в виде функциональных соотношений между общими решениями (решениями с постоянными интегрирования). Количество таких условий должно быть равно n - порядку дифференциального уравнения. Если решение задачи имеется в интервале t[t₀…t_k], то такие условия могут быть заданы как на границах t₀ и t_k, так и внутри интервала. В частном случае при условиях только t₀ приходим к задаче Коши. Минимальный порядок обыкновенного дифференциального уравнения, для которого может быть сформулирована краевая (граничная) задача, равен 2.

Третий тип – задачи на собственные значения. Такие задачи имеют ту особенность, что кроме искомых функций у и их производных в уравнения (1.27) или (1.28) входят дополнительно k неизвестных параметров ₁, ₂,…,_k, которые называются собственными значениями. Для единственности решения в интервале [t₀…t_k] необходимо задать n+k граничных условий.

К численному интегрированию дифференциального уравнения прибегают тогда, когда не удаётся по каким-либо причинам получить аналитическое решение. Для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при существовании аналитических решений. Важно учитывать также затраты времени на получение решение дифференциального уравнения либо численным, либо аналитическим методами.

Пусть обыкновенное дифференциальное уравнение, записанное в операторной форме, имеет вид

(1.29)

Также заданы начальные условия для переменных х и у.

Рассмотрим один из методов приведения дифференциального уравнения (1.29) к нормальной форме (1.28). Сведение к нормальной форме выполняется следующим образом:

1). Если порядки левой и правой частей уравнения (1.29) одинаковы (п=т), то применяем такую подстановку, в результате которой понижается на единицу порядок в правой части так, что станет m<n. Для такого понижения порядка применяем алгебраическую подстановку

(1.30)

Имеем



или

Порядок производной переменной х стал равным (п-1), а переменной у – остался равным п.

Начальное условие для у₁ равно: у₁₀=у₀-b₀х₀.

Если изначально в (1.29) будет m<n, то пункт 1 не выполняют.

2). Понижаем на 1 порядок одновременно и х и у₁ с помощью подстановки, представляющей собой дифференциальное уравнение, записанное в нормальной форме,

(1.31)

Имеем

Окончательно

Начальное условие для у₂ равно

3). Пункт 2 повторяют до тех пор, когда будет получено выражение без производной от х. Окончательно система уравнений в нормальной форме будет иметь следующий вид:

(1.32)

а выходной сигнал определится как

(1.33)

при начальных условиях

(1.34)

Числовой пример

Заданы:

- дифференциальное уравнение 3-го порядка

(1.35)

- начальные условия

(1.36)

Приведение к нормальной форме:

1). Так как порядки производных одинаковы в обеих частях дифференциального уравнения, то применяем алгебраическую подстановку вида

(1.37)

Преобразуем уравнение (1.35) с учетом этой подстановки

Чтобы в правой части была сокращена производная третьего порядка, необходимо принять b₀=2. Тогда дифференциальное уравнение примет вид

(1.38)

2). Применяем к уравнению (1.38) дифференциальную подстановку вида

(1.39)

Имеем

Чтобы в правой части была сокращена производная второго порядка, необходимо принять b₁=-7. Тогда дифференциальное уравнение примет вид

(1.40)

3). Применяем к уравнению (1.40) дифференциальную подстановку вида

(1.41)

Имеем

Чтобы в правой части была сокращена производная первого порядка, необходимо принять b₂=29. Тогда дифференциальное уравнение примет вид

(1.42)

4). Объединяя выражения (1.39), (1.41) и (1.42) с учетом найденных значений b₁ и b₂, получим систему дифференциальных уравнений в нормальной форме

(1.43)

5). По результатам решения системы (1.43) будет найдена переменная у₁ Переменная у, входящая в исходное дифференциальное уравнение (1.35), в соответствии с (1.37) и найденным значением b₀, будет выведена в виде

(1.44)

6). Рассчитываем начальные условия для переменных у₁, у₂ и у₃, основываясь на начальных условиях (1.36).

Из (1.44) находим начальное условие у₁₀ для переменной у₁:

(1.45)

Из первого уравнения системы (1.43) при учете первого уравнения выражения (1.45) находим начальное условие у₂₀ для переменной у₂:

(1.46)

Из второго уравнения системы (1.43) при учете первого уравнения выражения (1.46) находим начальное условие у₃₀ для переменной у₃:

(1.47)

Объединяя (1.45), (1.46) и (1.47), получим матрицу начальных условий для системы уравнений (1.43):

(1.48)

Задача решена.