10.2. Гемодинамика крови. Уравнение Пуазейля и Бернулли

Наблюдается два вида течения - ламинарное и турбулентное. Если при своем течении жидкость разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга, не перемешиваясь, такое течение называется ламинарным. Ламинарные течения – стационарные.

При увеличении скорости или поперечных размеров потока характер течения изменяется. Возникает перемешивание жидкости. Такое течение называется турбулентным. При данном течении скорость частиц в каждом данном месте все время беспорядочно изменяется. Течение становится нестационарным. Английский ученый О. Рейнольдс установил, что характер течения зависит от безразмерной величины

, (10.7)

где  - плотность жидкости, кг/м³;

v- средняя, по сечению трубки, скорость потока, м/с;

 - динамический коэффициент вязкости, Па·с;

d - диаметр трубки, м.

При малых значениях числа Рейнольдса наблюдается ламинарное течение. Начиная с некоторого определенного значения числа Рейнольдса, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер.

Отношение =/ называется кинематической вязкостью.

Таким образом, число Рейнольдса можно записать как:

. (10.9)

Характер течения различных жидкостей в трубках разных сечений будет одинаков, если каждому течению соответствует одно и то же значение Re. Таким образом, число Рейнольдса может служить критерием, характеристикой течения жидкостей в трубках разной конфигурации. Течение крови в артериях является ламинарным. Незначительная турбулентность возникает вблизи клапанов сердца. При патологии, когда изменяется вязкость, число Рейнольдса может превысить критическое значение. Течение станет турбулентным. Турбулентное течение связано с дополнительной затратой энергии, что приводит к добавочной работе сердца.

При турбулентном течении возникают шумовые явления, которые могут быть использованы с диагностической целью. Так, например, шум прослушивается на плечевой артерии при измерении давления крови методом Короткова. Течение крови подчиняется уравнению Пуазейля.

10.2.1. Уравнение Пуазейля

Течение вязкой жидкости по трубам круглого сечении для биологии и медицины имеет особое значение, так как кровеносная система состоит в основном из цилиндрических сосудов разного диаметра.

При движении жидкости в круглой трубе скорость равна нулю у стенок трубы и максимальна - на оси трубы.

Полагая течение ламинарным, найдем закон изменения скорости с расстоянием r от оси трубки: . Выделим выбрасываемый цилиндрический объем жидкости радиуса r и длины l (рис. 10.3). При стационарном течении в трубе постоянного сечения скорость всех частиц становится неизменной. Таким образом, сумма внешних сил, приложенных к любому объему жидкости, равна нулю.

Рис. 10.3. Срез цилиндрического сосуда

На основании рассматриваемого цилиндрического объема действующие силы давления можно рсчитать по формуле

. (10.9)

2. На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жидкости действует сила внутреннего трения, которая согласно уравнению Ньютона:

, (10.10)

где - площадь боковой поверхности цилиндра.

Так как жидкость движется равномерно, то силы, действующие на выделенный цилиндр, уравновешены: .

. (10.11)

Знак минус в правой части уравнения обусловлен тем, что (скорость уменьшается с увеличением r).

Из последнего уравнения имеем:

; (10.12)

интегрируя, получим

. (10.13)

Нижние пределы соответствуют слою, «прилипшему» к внутренней поверхности трубки ( при r=0), а верхние пределы — переменные. Решая уравнение, получим параболическую зависимость :

. (10.14)

Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (r=0).

. (10.15)

За единицу времени слой переносит объем жидкости, равный , тогда

. (10.16)

Интегрирование по всему объем даст

. (10.17)

Согласно формуле Пуазейля, поток жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы, радиусу в четвертой степени и обратно пропорционален вязкости жидкости. Формула Пуазейля применима только для ламинарного течения жидкости. Проведем аналогии между формулой Пуазейля и законом Ома. Тогда величина является гидравлическим сопротивлением. Оно тем больше, чем выше вязкость жидкости и длина трубки и чем меньше площадь поперечного сечения. Более общее выражение уравнения Пуазейля, справедливое для труб переменного сечения, имеет вид:

. (10.18)

Данное уравнение показывает, что давление вдоль трубки переменного сечения убывает пропорционально: . Так как Q постоянно, то градиент давления больше в трубах меньшего радиуса.

Если найти значение радиуса и подставить его в уравнение Пуазейля (10.18), то получим зависимость расхода от давления в упругих трубках

. (10.19)

Из уравнения (1.11) нйдем

; (10.20)

. (10.21)

Измерения давления в разных участках кровеносной системы, с учетом формулы (10.21), показали, что:

1) наибольшее падение давления происходит в малых кровеносных сосудах, то есть в артериолах и капиллярах, так как в них наибольшее сопротивление;

2) сопротивление течению при расчете скорости кровотока подобно электрическому сопротивлению;

3) исходя из выражения формулы Пуазейля , можно предположить, что характеризует величину кровотока.