15 Вопрос.

. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений в случае двух или трех неизвестных. Ненулевые решения однородной системы уравнений.

Базисные (главные) и свободные неизвестные.

Если ранг системы меньше числа неизвестных и система разрешима, то решений получится множество. Это множество решений принято описывать специальным образом. Например, пусть имеется 3 неизвестных, а независимых уравнений только 2. Одно из неизвестных можно перенести (вместе с его коэффициентом) в правую часть (с обратным знаком, конечно) , и объявить это неизвестное "свободным". Ему можно произвольно задавать любые значения, а оставшиеся два неизвестных будут единственным образом выражаться через правые части. Эти два неизвестных называются "базисными". Пример: x+y+z=2, x-y+z+3; x+y=2-z, x-y=3-z; Здесь z - свободное неизвестное, x,y - базисные неизвестные; Ответ: x=5/2-z, y=1/2.

Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений в случае двух или трех неиз-вестных.

Как известно, уравнения с двумя переменными вида

описывают на координатной плоскости Оху прямую. Система двух уравнений такого вида означает, что ее решения как точки на координатной плоскости должны принадлежать одновременно двум прямым, соответствующим уравнениям этой системы. Отсюда возможны следующие варианты: а) обе прямые пересекаются, и тогда система имеет единственное решение; б) прямые параллельны, и система не имеет решения (несовместна); в) прямые совпадают, т.е. ранг системы равен единице, и система имеет бесчисленное множество решений.

Уравнение с тремя переменными вида

описывает плоскость в трехмерном пространстве. Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными — это точки пространства, принадлежащие одновременно трем плоскостям, которые описываются уравнениями системы. В этом случае возможны следующие варианты: а) три плоскости пересекаются в одной точке, и система имеет единственное решение; б) три плоскости пересекаются по одной прямой — система имеет бесчисленное множество решений (все точки на этой прямой); в) две плоскости совпадают, а третья пересекает их — бесчисленное множество решений (все точки прямой — на пересечении трех плоскостей), ранг системы равен двум; г) все три плоскости совпадают — все точки общей плоскости являются решениями, и ранг системы равен единице; д) хотя бы одна из плоскостей параллельна какой-либо из двух других — система несовместна; е) плоскости пересекаются попарно по параллельным прямым — система несовместна. В последних двух случаях несовместность системы уравнений обусловлена тем, что нет таких точек трехмерного пространства, которые принадлежали бы одновременно всем трем плоскостям.

Ненулевые решения однородной системы уравнений.

Теорема. Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг   ее основной матрицы был меньше числа   неизвестных, т.е.  .

Пример. Решить систему   .

Решение.

 система имеет только нулевое решение  .

 

Ответ:      .