9 Вопрос.
Определители квадратных матриц. Миноры и алгебраические дополнения. Свойства определителей. Определитель транспонированной матрицы. Определитель произведения матриц.
Минором Мij элемента аij называется определитель (n-1)-ого порядка, полученный из определителя матрицы А путем вычеркивания i-той строки и j-ого столбца, на пересечении которых расположен элемент аij. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрица Аn называется его минор, взятый со знаком Свойства определителя: 1. Если некоторая строка (столбец) определителя состоит из нулей, то определитель = 0. 2. При перестановке двух строк ( столбцов) местами определитель не меняется. 3. Определитель, содержащий две одинаковые строки ( столбца) = 0. 4. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя. 5. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель = сумме двух определителей, в каждом из которых: а) все элементы строки (столбца) за исключением указанной строки (столбца) совпадают с аналогичными строками (столбцами) определителя. б) на месте указанной строки (столбца) первый определитель содержит первые слагаемые, а второй определитель – вторые слагаемые данной строки столбца определителя. 6. Определитель не изменится, если к элементу любой строки (столбца) прибавить соответствующий элемент другой строки (столбца), умноженные на любое число. 7. При транспонировании матрицы определитель не меняется. Определитель транспонированной матрицы = определителю исходной матрицы. Теорема об определителе произведения матриц: Пусть A и B — квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда det(A*B)=detA* detB, т.е. определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
10 Вопрос.
Обратная матрица. Обратная матрица. Алгоритм отыскания обратной матрицы. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями.
Матрица называется обратной по отношению к матрицы А, если их произведение = единичной матрице. Невырожденная матрица – если ее определитель не равен 0. Вырожденная – если определитель = 0. Обратная матрица существует тогда, если исходная матрица невырожденная.
11 Вопрос.
Ранг матрицы. Ранг ступенчатой матрицы. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Ранг произведения матриц.
Наивысший порядок миноров, отличных от 0, называется рангом матрицы. Ранг ступенчатой матрицы = числу нулевых строк. Преобразования матрицы, не изменяющие ее ранг: 1. Отбрасывание нулевой строки (столбца). 2. Умножение всех элементов строки (столбца) на число, отличное от нуля. 3. Изменение порядка строк (столбцов).
4. Прибавление каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число. 5. Транспонирование матрицы. Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы А является наибольшим такие числом r, что в матрицы А имеется r строк (r столбцов), образующих линейно независимую систему. Максимальное число линейно независимых строк матрицы = максимальному числу ее линейно независимых столбцов. Система из k строк (столбцов) А1, А2,…,Аk называется линейно независимой, если равенство возможно только а1 = а2 = … =аk =0, т.е. когда линейная комбинация в левой части тривиальная. Теорема. Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей. Следствие. Если A и B — квадратные матрицы одного и того же порядка и |A| 6= 0, то
ранг матрицы AB равен рангу матрицы B.