5 Вопрос.

Евклидовы пространства. Свойства длины вектора. Неравенство Коши- Буняковского.

Линейное пространство, на котором задано скалярное произведение, называется Евклидовым пространством. Неравенство Коши́ — Бунякоовского. Для любых двух векторов а и в евклидовом пространстве справедливо неравенство

6 Вопрос.

Ортогональность векторов. Ортогональные системы векторов. Независимость попарно ортогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на подпространство.

Два вектора x и y евклидова пространства называются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю: 

Система векторов  ,называется ортогональной, если все ее векторы попарно ортогональны, т.е. = 0 при . Система векторов  называется ортонормированной, если все ее векторы попарно Ортогональны и длина (норма) каждого вектора системы равна единице, т.е.

=

Говорят, что вектор    ортогонален (перпендикулярен) множеству  M , если он ортогонален каждому вектору из M. Ортогональность векторов обозначается знаком перпендикуляра  .

7 Вопрос.

Ортонормированная система векторов. Построение ортонормиро-ванного базиса ортогонализацией произвольного базиса. Ортогональные матрицы.

Ортонорми́рованная система — ортогональная система, у которой каждый элемент системы имеет единичную норму.

ля любых элементов этой системы   скалярное произведение ( ; ) = , где  — символ Кронекера.

Ортонормированная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента   может быть вычислено по формулам:  = , где = ( , )

Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.

Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:

(, ) =

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ( i ), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Ортогональный базис в 3-мерном евклидовом пространстве.

8 Вопрос.

Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами. Свойства операций над матрицами. Транспонирование матриц. Приведение матриц к ступенчатому виду элементарными преобразованиями.

Матрица – прямоугольная таблица, в которой m строк и n столбцов. Нулевая матрица – матрица, элементы которой = 0. Диагональная матрица – матрица, диагональные элементы которой = 0. Единичная матрица – матрица, элементы на главной диагонали которой = 0. Операции: 1. Суммой А и В матриц одинакового размера является С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов А и В. 2. Произведение матрицы на число – матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы на число. 3. Умножение матриц. Аm×n * Bn×k 4. Транспонирование. 5. Скалярное произведение. Произведение матриц А на В = С, элементы которой = сij = скалярным произведением векторов-строк аi матрицы А на вектор-столбцов bj матрицы В.

Свойства операций над матрицами: 1. А + В = В + А 2. (А + В) + С = А + (В + С) 3. а * (А + В) = Аа + Ва 4. (а + в) * А = аА + вА 5. (а*в) * А = (а*А) * в 6. А + 0 = А, где 0 – нулевая матрица 7. 0 * А = 0 Свойства произведения матриц: 1. (А*В) * С = А * (В*С) 2. (А+В) * С = А*С + А*В 3. А * (В + С) = А*В + А*С 4. а * (А*В) = а*А) * В = А * (а*В) 5. А * Е = А, где Е – единичная матрица 6. Е * А = А, где Е – единичная матрица 7. А * В ≠ В * А Транспонирование – замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением порядка. Свойства транспонирования: Теорема: Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду. В линейной алгебре матрица считается матрицей ступенчатого вида по строкам, если:

1. все ненулевые строки (имеющие по крайней мере один ненулевой элемент) располагаются над всеми чисто нулевыми строками;

2. ведущий элемент (первый ненулевой элемент строки при отсчёте слева направо) каждой ненулевой строки располагается строго правее ведущего элемента в строке, расположенной выше данной.