46. Эксцентриситет эллипса.

 Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется Эксцентриситетом.

Е = с/a.

Т. к. с < a, то е < 1.

47. Директрисы эллипса.

Директрисами эллипса называются две прямые, которые в канонической для эллипса системе координат имеют уравнения

                            или  .                             (13)

                                          рис.8.

Теорема. Пусть М – произвольная точка эллипса,  ,   – ее фокальные радиусы,   – расстояние от точки М до левой директрисы,   – до правой. Тогда

                                      ,                                 (14)

где   – эксцентриситет эллипса.

   Доказательство.

                                             рис.9.

Пусть М(х, у) – координаты произвольной точки эллипса. Тогда

         ,  ,

откуда и следуют равенства (14).

Теорема доказана.

48. Эксцентриситет гиперболы,

По определению эксцентриситет гиперболы равен

. Зафиксируем действительную ось 2а и начнем изменять фокучное расстояние 2с. Так как  , то при этом изменяется и величина b.

1) Пусть  . При этом  ,   и мнимые вершины   стремятся к началу координат, асимптоты приближаются к оси Ох. Основной прямоугольник гиперболы вырождается в пределе в отрезок  , а сама гипербола вырождается в два луча на оси абсцисс:   и  .

2) Пусть  . При этом  ,   и мнимые вершины   стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаеются к прямым   и в пределе сливаются с ними. Гипербола вырождается в две прямые  , параллельные оси Оу.

49. Директрисы гиперболы.

Определение. Директрисами гиперболы называются две прямые,уравнения которых в канонической для гиперболы системе координат имеют вид .

Так как  , то  .

Обозначение. Расстояние между директрисами обозначается 2d и равно

                                 .

                                             рис.8.

Теорема. Для любой точки гиперболы отношение ее фокального радиуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная эксцентриситету:

                                            .                             (7)

   Доказательство. При выводе канонического уравнения гиперболы мы получили формулы для вычисления фокальных радиусов точки гиперболы с координатами М(х, у):

                        ,  ,

где числа х,   и   имеют одинаковые знаки.

   Из рисунка 8 мы видим, что при 

                                 ,  ,

,  ,

откуда и следуют равенства (7). Аналогично доказываются формулы (7) и при  .

Теорема доказана.

50. Парабола. Ее уравнение

Пусть на плоскости заданы точка F и прямая  , не проходящая через F. Парабола - множество всех тех точек M плоскости, каждая из которых равноудалена от точки F и прямой  . Точка F называется фокусом, прямая   - директрисой параболы; (OF) - ось, O - вершина,   - параметр,   - фокус,   - фокальный радиус.

     Каноническое уравнение: