1. Гипербола. Ее уравнение.

Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных (называемых фокусами) есть величина постоянная. Эта постоянная величина положительна и меньше расстояния между фокусами.

Фокусы гиперболы обозначаются буквами  , расстояние между фокусами – через  , постоянную разность между расстояниями от любой точки гиперболы до ее фокусов – через   (2a<2с).

42. Окружность. Ее уравнение.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

В уравнение окружности (x – a)² + (y – b)² = R², где (a; b) — координаты центра, а R — радиус окружности.

Пример 1. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде: 2x² + 2y² – 8x + 5y – 4 = 0.

Решение:

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты: x² + y² – 4x + 2,5y – 2 = 0;

x² – 4x + 4 –4 + y² + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0; (x – 2)² + (y + 5/4)² – 25/16 – 6 = 0;

(x – 2)² + (y + 5/4)² = 121/16. Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.

43. Фокусы эллипса.

Эллипс - это геометрическая фигура, которая ограничена кривой, заданной уравнением  .

Определение. Он имеет два фокуса. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

 

Чертеж фигуры эллипс

F₁ , F₂ – фокусы . F₁ = ( c ; 0); F ₂ (- c ; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

 

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

a² = b ² + c ².

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, у которого большая ось равна 10, координаты фокусов   и .

Решение. Фокусы эллипса расположены на оси  . Имеем, .Из соотношения    находим  ,т.е.   .Итак, каноническое уравнение эллипса имеет вид :

44. Соотношение осей и расстояний эллипса.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

A2 = B2 + C2.

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, R1 + R2 = 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, R1 + R2 = A – C + A + C. Т. к. по определению сумма R1 + R2 – постоянная величина, то, приравнивая, получаем:

A2 = B2 + C2

R1 + R2 = 2A.

45. Соотношение осей и расстояний гиперболы.

Теорема. Если R – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого - либо фокуса, D – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение R/D – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

 y

a/e d

M(x, y)

r1

0 a F1 x

OF1 = c

Из очевидных геометрических соотношений можно записать:

A/e + d = x, следовательно d = x – a/e.

(x – c)2 + y2 = r2

Из канонического уравнения:  , с учетом b2 = c2 – a2:

Тогда т. к. с/a = e, то r = ex – a.

Итого:  .

Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.