27 Вопрос.
Параметрическое и каноническое уравнения прямой.
уравнение
вида 
называют каноническим
уравнением прямой на плоскости в
прямоугольной системе координат Oxy.
Уравнение
также
называют уравнением
прямой в каноническом виде.
Уравнения
полученной системы 
называются параметрическими
уравнениями прямой на
плоскости в прямоугольной системе
координат Oxy.
Смысл такого названия прост: координаты
всех точек прямой могут быть вычислены
по параметрическим уравнениям прямой
на плоскости вида
при
переборе всех действительных значений
параметра 
.
28 Вопрос.
Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
Условия па Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:
l1: 
l2: 
Угол между прямыми ϕ и угол между направляющими векторами ϕ этих прямых связаны соотношением: ϕ = ϕ1 или ϕ = 1800 - ϕ1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:
.
раллельности двух прямых:
а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:
k1 = k2. (8)
б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.
(9)
5 Условия перпендикулярности двух прямых:
а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.
29 Вопрос.
Расстояние от точки до прямой. Преобразование координат точки при замене системы координат.
Расстояние от точки до прямой. Преобразование координат точки при замене системы координат
Преобразование
координат —
замена системы
координат на
плоскости, в пространстве или, в самом
общем случае, на заданном 
-мерном многообразии.
Пример
перехода от полярных
координат 
к декартовым 
на евклидовой
плоскости:
Чаще всего преобразование координат производится для перехода к более простой или более удобной для анализа математической модели. Например, уравнения некоторых плоских кривых в полярных координатах существенно проще, чем в декартовых, а для исследования осесимметричных тел удобно направить одну из осей координат вдоль оси симметрии.
Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости
Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(Mx, My) до прямой можно найти, используя следующую формулу
d = |
|A·Mx + B·My + C| |
√A2 + B2 |
30 Вопрос.
Векторное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Нормальное уравнение плоскости. Частные случаи расположения плоскостей. Различные способы задания плоскости.
Уравнения плоскости
Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть заданауравнением первой степени.
Общее уравнение (полное) плоскости
где 
и 
—
постоянные, причём 
и
одновременно
не равны нулю; в векторной форме:
где 
—
радиус-вектор точки 
,
вектор 
перпендикулярен
к плоскости (нормальный
вектор).Направляющие косинусы вектора 
:
Если
один из коэффициентов в уравнении
плоскости равен нулю, уравнение
называется неполным.
При 
плоскость
проходит через начало
координат,
при 
(или 
, 
)
П. параллельна оси 
(соответственно 
или 
).
При 
(
,
или 
)
плоскость параллельна
плоскости 
(соответственно 
или 
).
Уравнение плоскости в отрезках:
где 
, 
, 
—
отрезки, отсекаемые плоскостью на
осях 
и
.
Уравнение
плоскости, проходящей через
точку 
перпендикулярно
вектору нормали 
:
в векторной форме:
Уравнение
плоскости, проходящей через три заданные
точки 
, не
лежащие на одной прямой:
(смешанное произведение векторов), иначе
Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
в векторной форме:
где 
-
единичный вектор, 
—
расстояние П. от начала координат.
Уравнение (2) может быть получено из
уравнения (1) умножением на нормирующий
множитель
(знаки 
и
противоположны).
Способы задания плоскости Общее уравнение плоскости (рис. 4.13)
где 
-
нормальный вектор плоскости.
В
векторном виде 
.
Частные случаи общего уравнения плоскости:
1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;
2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;
3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;
4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;
5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;
6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;
7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;
8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;
9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;
10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;
11) z = 0 - плоскость Oxy;
12) y = 0 - плоскость Oxz;
13) x = 0 - плоскость Oyz.
Способы задания плоскости Общее уравнение плоскости (рис. 4.13)
где - нормальный вектор плоскости.
В векторном виде .