Вопрос 1.

Векторы. Свойства вектора. Операции над векторами.

Вектор – любой упорядоченный набор из N действительных чисел называется N-мерными векторами вектора А, при этом числа, составляющие упорядоченный набор называется координатами вектора А.

Нулевой вектор (нуль-вектор) — вектор, начало которого совпадает с его концом.

Скалярным произведением векторов А и Б называется число равное произведению

× = × × cos

2 Вопрос.

Линейное пространство. Свойства линейного пространства. Подпространство линейного пространства.

Подмножество S линейного пространства V называется подпространством, если выполнены следующие свойства два условия: 1. Для любых двух векторов а и в, если из S их сумма также принадлежит S. 2. Для любого вектора а из S и любого действительного числа λ произведение λа также принадлежит S.

3 Вопрос.

Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Свойства линейно зависимых векторов. Линейная оболочка векторов.

Система из k векторов а1, а2,…,аk называется линейно зависимой, если существуют такие числа а1,а2,…,аk, не все равные нулю одновременно, что

Система из k векторов а1, а2,…,аk называется линейно независимой, если равенство возможно только при а1 = а2 =…=аk = 0, т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства тривиальная. Свойства линейно зависимых векторов: 1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима 2. Если в системе вектор имеет два равных вектора, то она линейно зависима 3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно зависима 4. Система из k>1 векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных 5. Любые вектора, входящие в линейно зависимую систему, образуют линейно независимую подсистему 6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима 7. Если система векторов а1, а2,…,аk линейно независима, а после присоединения к ней вектора а оказывается линейно зависимой, то вектор а можно разложиться по векторам а1, а2,…,аk и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно Множество всех линейных комбинаций векторов а1, а2,…,аs называется линейной оболочкой векторов а1, а2,…,аs и обозначается L(а1, а2,…,аs).

4 Вопрос.

Размерность линейного пространства. Базис и ранг системы векторов. Разложение вектора по системе векторов. Преобразование координат при замене базиса.

Размерностью линейного пространства называется число s векторов его базиса. Размерность подпространства называется рангом системы векторов а1, а2,…,аs. Подсистема а1, а2,…,аr системы векторов а1, а2,…,аs называется базисом этой системы, если она является базисом линейной оболочки L(а1, а2,…,аs). Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a1, ..., an, необходимо найти коэффициенты x1, ..., xn, при которых линейная комбинация векторов a1, ..., an равна вектору b: x1a1 + ... + xnan = b, при этом коэффициенты x1, ..., xn, называются координатами вектора b в базисе a1, ..., an.