0 ≡ Мой сосед.

Приведённое рассуждение можно записать так:

А (х) => В (х),

В (0),

следовательно, А (0).

Очевидно, что «утверждать, утверждая» использован неверно: из А => В и В был сделан вывод А. Обратное утверждение здесь спутано с контрапозицией.

Для импликации А => В обратной является импликация В => А, а контрапозицией ¬ В =>¬ А, знак ¬ означает «не».

Например, рассмотрим утверждение:

У каждой здоровой кошки четыре ноги.

Упростим это утверждение:

У здоровой кошки четыре ноги.

Если введём обозначения

А (х) ≡ х – здоровая кошка,

В (х) ≡ х – имеет четыре ноги,

Утверждение принимает вид

А (х) => В (х).

Обратное утверждение:

В (х) => А (х),

то есть

Объект с четырьмя ногами – здоровая кошка.

Обратное утверждение построено на основе исходного утверждения о том, что у каждой здоровой кошки четыре ноги. Исходное утверждение истинно, обратное ему – ложно. Неверно, что нечто имеющее четыре ноги – именно здоровая кошка. Четыре ноги есть у собаки, козы, лошади и стола.

Контрапозиция означает, что если нечто не обладает четырьмя ногами, то не является здоровой кошкой.

¬ В => ¬А

Это утверждение отличается от исходного, но при этом является верным. Если вам повстречается объект, у которого нет четырёх ног - можно быть уверенным, что это здоровая кошка, так как у неё должны быть четыре ноги, как условие здорового состояния. Контрапозиция утверждает ровно то же самое, что исходное утверждение, но несколько иными словами.

Контрапозиция некоторой импликации всегда логически эквивалентна самой исходной импликации, а про оборотное суждение этого сказать нельзя.

Возвращаясь к истории завтракающих физиков и соседей. Начав с того, что из А => В и выполняемости В был сделан вывод А. Мы совершили неверную интерпретацию исходной импликации как обратную ей.

Правильно понимать исходную импликацию как ¬ В => ¬ А, поскольку контрпозиция логически эквивалентна исходному утверждению. Правильно было бы записать следование из ¬ В => ¬ А, так:

( ¬ В => ¬ А) ^ В ≡ В.

Правило «отрицать отрицая» является переформулировкой правила «утверждать утверждая»:

Если ((А => В) и ¬ В), то ¬ А.

Утверждению А => В эквивалентна его контрпозиция ¬ В => ¬ А. А если ещё есть утверждение ¬ В, то согласно правилу «утверждать утверждаю», можно вывести ¬ А. В этом и заключается правило «отрицать отрицая».

По степени обоснованности выведения заключения из посылок умозаключения делят на демонстративные и недемонстративные.

Деление умозаключений по степени обоснованности

	Демонстративные умозаключения	Недемонстративные умозаключения
Истинность заключения	Истинность посылок обеспечивает получение истинного заключения	Истинность посылок не гарантирует истинности заключения
Новизна информации	Информация заключения составляет часть совокупной информации посылок	При переходе от посылок к заключению имеется приращение информации
Виды умозаключений	Дедуктивные умозаключения	Достоверные умозаключения	Правдоподобные умозаключения
		полная индукция, строгая аналогия	неполная индукция, нестрогая аналогия, статистические выводы
Область применения	Математика и логика	Эмпирические науки (физика, химия, биология) и социо-гуманитарные науки (история, социология, политология)

Только в дедуктивных рассуждениях, в которых между посылками и заключением существует отношение логического следования, истинность посылок гарантирует истинность заключения.

Рассуждение называется дедуктивным, если информация выраженная в его посылках (А₁, …, А_n), содержит в качестве своей части информацию, выраженную в заключении (B). Дедукция позволяет извлечь эти сведения и представить их в явной форме.