§ 3. Решение задачи Коши

Формула Даламбера

Чтобы выяснить, как будет вести себя бесконечная струна в отсутствии внешних сил, необходимо решить задачу Коши для уравнения (5) с начальными условиями (6), которые мы перепишем в следующем виде:

, (14)

, (15)

Одно из условий (15) может быть нулевым, но не оба, ибо в этом случае струна будет оставаться в исходном, недеформированном состоянии.

Решение задачи Коши осуществим в три этапа:

1-й шаг (приведение уравнения (7) к каноническому виду):

Введем новые переменные ξ и η следующим образом:

(16)

и запишем равнение (14) в новых переменных. Для этого получим выражения для u_xx и u_tt:

После подстановки полученных выражений в исходное уравнение (14) получим:

. (17)

Уравнение (17) является каноническим видом уравнения (14), а переменные ξ и η – каноническими переменными.

2-й шаг (решение преобразованного уравнения):

Проинтегрируем полученное уравнение по ξ, а затем по η. После интегрирования по ξ, получим:

,

где F(η) – произвольная функция от η.

После интегрирования по η получим

,

где φ(η) и ψ(ξ) – произвольные функции своих аргументов.

3-й шаг:

Возвращаясь к старым переменным, получим

. (18)

Физический смысл полученного решения состоит в том, что оно представляет собой суперпозицию двух волн, распространяющихся вдоль оси x в противоположных направлениях со скоростью a, как это показано на рис.11, причем формы этих волн, определяемые функциями и ψ, являются произвольными.

4-й шаг (Использование начальных условий):

Для конкретизации формы воспользуемся начальными условиями. Для этого подставим полученное решение и его производную по времени в начальные условия (15).

Рис. 11. Распространяющиеся волны

В результате получим два уравнения относительно неизвестных функций φ(x) и ψ(x):

Проинтегрировав второе уравнение от x₀ до x, получим систему уравнений относительно искомых функций:

где С – произвольная константа. Решая эту систему, получим:

Записывая полученные решения для любого времени t, будем иметь

Складывая почленно оба выражения с одновременным изменением порядка интегрирования во втором из них, получим окончательный вид решения задачи Коши:

(19)

Эта формула носит название формулы Даламбера. Она была получена в предположении, что решение поставленной задачи Коши существует, а её наличие доказывает и единственность решения. Можно показать и непрерывную зависимость решения от начальных данных. В самом деле, для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что если заменить f и g на f₁ и g₁,так, что

,

то разность между первоначальным решением u (x,t) и новым решением u₁ (x,t) будет по абсолютной величине меньше ε на любом конечном отрезке времени, что легко следует из формулы (19).