Дивергенция вектора

Понятие потока вектора лежит в основе другого важного понятия – дивергенции вектора. Для его определения нужно рассмотреть некоторую точку векторного поля А(M) и окружить её замкнутой поверхностью S, целиком содержащейся в поле. В поле скоростей жидкости это будет соответствовать алгебраической сумме втекающей и вытекающей жидкости, которая будет равна нулю, если внутри объема отсутствуют источники и стоки жидкости.

Теперь возьмем отношение потока вектора А к объему V внутри поверхности S

,

и найдем предел этого отношения при V, стремящемся к нулю. Этот предел и называется дивергенцией или расходимостью вектора А в точке М, а именно

(6)

Дифференциальная форма дивергенции векторного поля, заданного формулой (2), имеет вид:

. (7)

Таким образом, результат применения оператора дивергенции к вектору является величиной скалярной.

Пользуясь выражением для дивергенции (7), теорему Остроградского можно записать в векторном виде

(8)

Эта форма теоремы Остроградского для поля текущей жидкости выражает тот очевидный факт, что поток жидкости через поверхность равен суммарной мощности всех источников и стоков, т.е. количеству жидкости, возникающей в рассматриваемой области в единицу времени.

Циркуляция и ротор векторного поля

Если в векторном поле, заданном выражением (2), выбрать некоторую линию L и определенное направление на ней, то вектор дифференциала дуги задается выражением

.

Циркуляцией вектора А вдоль замкнутого контура называется криволинейный интеграл по этому контуру от проекции вектора А на вектор ds, т.е.

. (9)

Рассмотрим теперь предел отношения циркуляции по плоскому контуру L, окружающему точку М, к площади, ограниченной этим контуром, при условии, что контур L стягивается в точку М, оставаясь в одной и той же плоскости:

.

Чтобы вычислить этот предел, следует преобразовать выражение для циркуляции, воспользовавшись формулой Стокса:

При стягивании контура L в точку P значение подынтегральной функции будет стремиться к её значению в этой точке. Это подынтегральное выражение является скалярным произведением вектора нормали n = (cos α, cos β, cos γ) к плоскости, в которой лежит контур L, и вектора, проекции которого равны

Этот вектор и называется ротором или вихрем вектора А(М):

. (10)

Таким образом, результат применения дифференциального оператора ротора к вектору является величиной векторной.

С помощью определения ротора теорему Стокса можно сформулировать в векторной форме:

. (11)

Если ротор векторного поля равен нулю, то векторное поле является безвихревым или потенциальным. Более подробно это будет обсуждаться в главах VI и VII.