§ 4. Уравнения газодинамики
Как мы уже отмечали в предыдущей главе, уравнения газовой динамики отличаются от уравнений гидродинамики за счет того, что плотность не является постоянной величиной. По этой причине уравнения газодинамики описывают движение не только собственно газов, но и жидкости, если она в какой-то задаче проявляет свойства сжимаемости.
Эффект изменения плотности в газах тоже наблюдается и учитывается не во всех задачах. Он становится заметным и учитывается в задачах, характеризующихся большими скоростями и градиентами давлений, таких как полет высокоскоростных самолетов и ракет, распространение взрывных волн и т.п. При этом эффекты вязкости практически не проявляются.
Мы рассмотрим для простоты одномерное движение газа в отсутствии внешних сил и источников. В этом случае уравнение неразрывности с учетом изменения плотности будет иметь вид
(21)
Уравнение движения при сделанных предположениях становится скалярным
(22)
Неизвестными величинами являются, как и раньше, давление – p и скорость – v, а теперь еще и плотность – ρ. В связи с появлением новой неизвестной функции нам необходимо иметь еще одно уравнение. Однако, такое уравнение можно записать, только определившись со свойствами газа.
Если ограничиться рассмотрением идеального газа, т.е. газа в котором взаимодействие между молекулами отсутствует, или точнее говоря, достаточно мало, то можно для него записать известное уравнение состояния
(23)
Однако, это уравнение, как мы видим, содержит еще и температуру, которая известна и остается постоянной только для изотермических процессов. Можно избавиться от температуры в нужном нам уравнении и в случае адиабатического процесса, т.е. происходящего без теплообмена с внешней средой. При адиабатическом процессе движения газа энтропия каждой его частицы остается постоянной, а тогда её полная производная равна нулю
Это уравнение выражает адиабатичность движения идеального газа. В частном случае, если в какой-то момент энтропия окажется одинаковой во всех точках газа, то она останется одинаковой и во все последующие моменты времени. В этом случае уравнение адиабатичности сведется к равенству энтропии постоянной величине
Такое движение газа называется изэнтропическим. При этом уравнение состояния принимает вид
(24)
Конкретным видом этой зависимости является адиабата Пуассона
,
где
(24')
Здесь cp – теплоемкость при постоянном давлении, а cv – теплоемкость при постоянном объеме, которые считаются постоянными.
В общем случае можно записать уравнение состояния следующим образом
(25)
Следует заметить, что и уравнение (23) и уравнение (24) или (25), каждое из которых замыкает систему уравнений газодинамики, не является дифференциальным.
Полученные уравнения газодинамики (21), (22) и (25) можно также считать уравнениями движения идеальной сжимаемой жидкости в отсутствии внешних сил.