§ 3. Оператор Гамильтона и дифференциальные операторы второго порядка
Введенные
нами дифференциальные операторы удобно
представлять с помощью оператора
Гамильтона, который
обозначается символом
(набла) и рассматривается как символический
вектор:
.
(12)
Правила действий с этим вектором таковы:
Произведение вектора на скалярную функцию U(x,y,z) дает градиент этой функции
(13)
Скалярное произведение вектора на векторную функцию А(x,y,z) дает дивергенцию этой функции
.
(14)
Векторное произведение вектора на векторную функцию А(x,y,z) дает ротор этой функции
.
(15)
Перейдем теперь к наиболее важным для нас дифференциальным операторам второго порядка:
Оператор Лапласа, который образуется путем последовательного применения оператора градиента и оператора дивергенции к скалярной функции U (x,y,z). В результате получаем скалярную функцию
.
(16)
Оператор, представляющий собой последовательное применение оператора ротора и оператора дивергенции к скалярной функции U (x,y,z). Нетрудно убедиться, что в результате мы получим нулевой вектор:
.
(17)
Оператор, представляющий собой последовательное применения оператора дивергенции и оператора ротора к векторной функции А(x,y,z). Нетрудно убедиться, что в этом случае мы в результате получим скаляр:
.
(18)
Представленные выше операторы записаны в декартовой системе координат
При записи волновых уравнений иногда используют так называемый оператор Даламбера или волновой оператор
(19)
Оператор Δ u – вектор:
Оператор, представляющий собой последовательное применение оператора ротора и оператора дивергенции к скалярной функции U (x,y,z). Нетрудно убедиться, что в результате мы получим вектор, равный нулю, а именно:
(20)
Оператор, представляющий собой последовательное применения оператора дивергенции и оператора ротора к векторной функции А (x,y,z). Нетрудно убедиться, что в этом случае мы в результате получим скалярную величину, равную нулю:
(21)
В заключение заметим, что при записи уравнений в частных производных та часть, в которую входят частные производные, часто рассматривают как дифференциальный оператор. При этом используют запись L[u] или Lu, например
Г л а в а II. Одномерное волновое уравнение
К волновому уравнению, как уже отмечалось, мы приходим при изучении различных колебательных явлений, которые сопровождаются образованием волн (колебания точек струны, стержня, мембраны; колебания плотности, давления и скорости при распространении звука). В отсутствии внешних сил волновое уравнение имеет вид:
, (1)
где с является постоянной скоростью распространения волны.
Мы начнем знакомство с волновым уравнением с одного из самых простых случаев, а именно с задачи о малых поперечных колебаниях струны без учета затухания.