§ 2. Течение вязкой жидкости

В отличие от идеальной жидкости, кроме давления, которое всегда направлено по нормали к границе соприкосновения, действуют силы, лежащие в касательной плоскости к этой границе и стремящиеся уменьшить относительную скорость соприкасающихся частей жидкости. Это явление называют вязкостью. Таким образом, для описания всех компонентов сопротивления (давления и вязкости) мы приходим, как и для уравнений теории упругости (§1, гл. IX), к необходимости воспользоваться понятием тензора напряжений

,

Касательные напряжения σ_ij по своей природе зависят от производных от скорости по координате, т.е.

(15)

Здесь для удобства записи принимается .

Надо понимать, что соотношение (15) будет разным не только для разных жидкостей, но и для одной и той же жидкости, но в разных условиях. В связи с этим каждую выбранную конкретную зависимость нужно рассматривать как модель жидкости, пригодную для решения конкретной задачи. В простейшем случае соотношение (15) считают линейным, т.е. выбирают линейную модель, что оказывается приемлемым для целого ряда задач. Такие жидкости принято называть ньютоновскими. Наряду с этим существует целый ряд нелинейных моделей жидкости, которые объединяют в широкий класс неньютоновских жидкостей.

Ньютоновские жидкости.

Можно показать, что в линейном случае, т.е. в случае ньютоновской жидкости уравнение движения вязкой жидкости можно записать в следующем виде

(i = 1, 2, 3) (16)

где μ – так называемый коэффициент вязкости.

Эта система уравнений носит название уравнения Навье-Стокса. Чтобы определить все неизвестные функции v_x, v_y, v_z и p к ней естественно нужно добавить уравнение неразрывности.

Одна из наиболее часто встречающихся задач является задача о движении вязкой жидкости в круглой трубе. В этом случае удобно пользоваться цилиндрической системой координат (r, φ, z). В этой системе урав­не­ния движения вяз­кой не­сжи­мае­мой жид­ко­сти вместе с уравнением неразрывности име­ют вид:

(17)

где ; – ко­эф­фи­ци­ент ди­на­ми­че­ской вяз­ко­сти; – плот­ность; , и – осе­вая, ра­ди­аль­ная и уг­ло­вая ком­по­нен­ты ско­ро­сти, со­от­вет­ст­вен­но.

Неньютоновские жидкости.

В качестве примера уравнений движения для неньютоновской жидкости приведем уравнения движения так называемой степенной модели жидкости, которые в цилиндрической системе координат (r, θ, z) имеют вид

(18)

Где выражение для a и определяет степенной вид неньютоновской жидкости

В приведенных формулах F_r, F_, F_z – компоненты вектора напряжения массовых сил, которые считаются заданными; n и k – реологические константы, которые определяются из эксперимента.

§ 3. Постановка граничных условий

Граничные условия для системы уравнений движения жидкости будем определять из физических соображений. Для идеальной жидкости принято считать, что отсутствуют не только силы трения между частицами, но и между частицами жидкости и стенкой. Это приводит к необходимости в качестве граничных условий принять так называемый режим скольжения, при котором на границе не накладывается никаких ограничений на касательную составляющую скорости v_τ, а нормальная составляющая скорости v_n, если стенка является непроницаемой, должна равняться нормальной составляющей скорости стенки в этой точке. Если стенка недеформируемая и покоится, то на всей границе v_n = 0.

Для вязкой жидкости принято считать, что силы трения, которые существуют между частицами жидкости, при взаимодействии с материалом стенки приводят к их сцеплению. Это явление называют режимом прилипания. В этом случае выставляется требование равенства нулю касательной составляющей скорости v_τ = 0. Что же касается требования к нормальной составляющей скорости, то оно остается таким же, как и при режиме скольжения.

Следует отметить, что режим прилипания реализуется для многих видов материалов стенки, однако не является абсолютным. Существует целый ряд материалов, для которых условие прилипания не выполняется. Это свойственно, в частности, некоторым полимерам, пористым материалам, кровеносным сосудам и т.д. В этих случаях принимают режим частичного проскальзывания. К этому режиму прибегают и в том случае, когда вблизи стенки существует тонкий слой, в котором уравнения гидродинамики будут некорректны, и граничные условия ставятся не на стенке, а с внутренней стороны пограничного слоя. Для простейшего случая одномерного течения это граничное условие имеет вид

(19)

где β - коэффициент проскальзывания, который имеет размерность длины и поэтому его ещё называют длиной проскальзывания. Этот коэффициент определяется экспериментально.

Д ля наглядности на рис. 38 приведен профиль скорости для одномерного течения в случае частичного проскальзывания.

П омимо граничных условий на стенке, которые выбираются исходя из физических соображений, граничные условия ставятся и на воображаемой поверхности, ограничивающей рассматриваемый в задаче объем жидкости. Это может быть, например, начальная и конечная границы рассматриваемого участка трубы. В этом случае задаются значения скорости и (или) давления на заданной границе.

В

β

стречаются задачи, в которых нужно поставить граничные условия на свободной поверхности. Для вязкой жидкости в этом случае напряжение на этой поверхности должно быть равно нулю, т.е.

, (20)

г

Рис.38.Профиль скорости при частичном проскальзывании

де n_k (k=1, 2, 3) – направляющие косинусы нормали к свободной поверхности