§ 1. Системы уравнений теории упругости

Теория упругости ставит своей целью изучение движения упругих тел и возникающих в телах деформаций и напряжений. Смещения в каждой точке характеризуются вектором смещений u, проекции которого на координатные оси x, y, z можно обозначить u(x, y, z), v(x, y, z), и w(x, y, z). Совокупность напряжений образуют симметричный тензор напряжений

,

где , , – составляющие напряжения, действующего на единичную площадку площади элемента, перпендикулярного оси x. Аналогично, , и, , – компоненты напряжений, действующих на единичные площадки, перпендикулярные к осям y и z. Компоненты , , называют нормальными напряжениями, компоненты и симметричные им называют касательными напряжениями.

Рассматривая элемент объема и, составляя для него уравнения движения, получим

(1)

где ρ – объемная плотность в точке в точке (x, y, z);

X, Y, Z – проекции внешней удельной объемной силы F на оси x, y, z.

Связь напряжений с деформациями задается законом Гука, который записывается в следующем виде

(2)

где G – модуль сдвига, κ – коэффициент Пуассона.

При этом величины

, , (3)

образуют симметричный тензор деформаций

Уравнения (1) и (2) образуют полную систему дифференциальных уравнений в частных производных для описания напряжений и деформаций в каждой точке заданной области D в любой момент времени. Эти уравнения должны быть дополнены начальными и граничными условиями, на которых мы остановимся ниже. Покажем, как эти уравнения сводятся к уравнениям колебаний.

Подставляя выражения для напряжений из (2) в уравнения движения (1) и учитывая выражения (3) получим систему уравнений для смещений

(4)

Для этой системы уравнений должны быть заданы начальные условия

(4')

Вместо постоянных G и κ иногда используются так называемые коэффициенты Ламэ μ и λ, которые связаны с G и κ простыми соотношениями

В результате систему уравнений (4) можно записать в виде одного векторного уравнения

(5)

или

(5')

где u – вектор смещения с проекциями u, v и w, F – вектор внешних объемных сил с проекциями X, Y, Z. Уравнение (5) или (5') обычно называют уравнением Ламэ.

§ 2. Скалярный и векторный потенциалы

Покажем, что уравнения (5) могут быть сведены к волновым уравнениям для соответствующим образом выбранных функций¹⁾.

Произвольный вектор F ,как мы помним, всегда можно представить в виде суммы градиента некой скалярной функции, называемой скалярным потенциалом и ротора некоего вектора, называемого векторным потенциалом. В частности для вектора F можно записать

А для вектора u

После подстановки этих выражений в формулу (4) или (5) мы получим, что функции Ф и А подчинены волновым уравнениям

(6)

В этом нетрудно убедиться прямой подстановкой, что определенный таким образом вектор u действительно удовлетворяет уравнениям (4). В отсутствии внешних объемных сил уравнения (6) становятся однородными уравнениями колебаний.

Таким образом, мы показали, что уравнения упругости могут быть приведены к волновым уравнениям по отношению к специальным образом выбранным скалярному и векторному потенциалам, представляющих вектор перемещений.

Следует заметить, что векторное уравнение для векторного потенциала А в некоторых случаях распадается на три скалярных уравнения. Однако вопрос о приведении к отдельным скалярным уравнениям не может быть рассмотрен до конца без привлечения граничных условий, которые могут связывать разные компоненты и тем самым создавать значительные трудности для полного расщепления уравнений.

Что касается начальных условий для функций Ф и А, то для их задания нужно выражение (6) и производную по времени от этого выражения подставить в начальные условия (4'). В результате получим систему дифференциальных уравнение в частных производных для определения начальных условий для функций Ф и А.

Уравнения колебаний для векторного потенциала А в некоторых случаях (например, в декартовой системе координат) распадается на три скалярных уравнения. Однако вопрос о приведении уравнений упругости к отдельным скалярным уравнениям колебаний не может быть рассмотрен до конца без привлечения граничных условий, которые могут связывать разные проекции и тем самым представлять значительные трудности для полного расщепления уравнений.

Г л а в а X. Уравнения электромагнитного поля