§ 2. Внутренняя краевая задача

Можно показать, что всякое уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами можно привести к уравнению вида

(15)

В предыдущем параграфе мы выяснили, что свойства решения этого уравнения существенно зависят от знака коэффициента с. При диффузионной интерпретации уравнения это понятно с физической точки зрения.

При справедлив принцип максимального значения, который заключается в следующем:

Решение уравнения (15) внутри области задания Т не может достигать во внутренних точках области своего максимального положительного и минимального отрицательного значений.

Действительно, пусть в некоторой внутренней точке М₀ области Т, функция u (M₀) достигает своего максимального положительного значения, тогда в этой точке

,

но тогда и , а значит уравнение (15) не может быть выполненным, поскольку левая часть уравнения будет строго меньше нуля. Изложенное рассуждение применимо и к случаю минимального отрицательного значения.

Исходя из принципа максимального значения, можно легко доказать единственность решения первой внутренней краевой задачи, которая формулируется следующим образом:

Существует только одно решение уравнения (15), определенное и непрерывное в области Т вместе с её границей S и принимающее на этой границе заданное значение

(16)

В самом деле, допустив существования двух разных решений u₁ и u₂, удовлетворяющих условию (16), рассмотрим функцию , которая также будет удовлетворять уравнению (15), а на границе будет равна нулю. Тога в силу принципа максимального значения это нулевое значение функции u будет максимальным (положительным) или минимальным (отрицательным) значением, из чего следует, что оно должно быть нулевым во всей области, т.е. функция u₁ должна быть равна функции u₂. Таким образом, решение первой внутренней краевой задачи будет единственным (при ).

При единственность может и не иметь места. Вопрос о множественности или единственности решения первой краевой задачи зависит от того, совпадает ли значение с с одним из собственных значений λ _n однородной краевой задачи.

,

§ 3. Сферически симметричное решение уравнения Гельмгольца в ограниченной области

При поиске сферически симметричных решений уравнение Гельмгольца в сферических координатах сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению

(17)

Умножив все члены уравнения на r, после некоторых преобразований получим

(18)

Общее решение этого уравнения для функции ru хорошо известно, а тогда можно записать и общее решение уравнения (1) при .

, (19)

где А₁ и А₂ произвольные постоянные, которые определяются из граничного условия. При решении внутренней краевой задачи решение ищется внутри сферы , где оно должно быть регулярным. Для выполнения этого условия необходимо положить . Это условие оказывается и достаточным. Действительно, прямым дифференцированием и применением правила Лопиталя можно убедиться, что при этом решение (19) будет регулярно. Таким образом, решение задачи имеет вид

(20)