§ 9. Задача Дирихле для круга

Если контур С является окружностью радиуса R, то внутренняя нормаль в точке Р направлена по диаметру, а значит

, (32)

т ак как φ – есть угол Р₀РР' (Рис. 36). Тогда интегральное уравнение для функции ν(s₀) принимает вид

(33)

Нетрудно убедиться, что его решением будет функция

(34)

где А – некоторая постоянная, которую мы определим, подставляя выражение для ν(s) (34) в интегральное уравнение (33)

,

откуда находим для постоянной А выражение через заданную функцию f (s)

Таким образом, функция

(35)

является решением интегрального уравнения (33).

Соответствующий потенциал двойного слоя будет равен

Преобразуем правую часть этой формулы, предполагая, что М лежит внутри С:

(36)

Из Δ ОРМ (Рис. 37) видно, что

, (37)

так как

Подставляя теперь формулу (37) для К в формулу (36), мы получим уже знакомый нам интеграл Пуассона (§ 11, Гл. VI)

, (38)

дающей решение задачи Дирихле для круга.

Замечание. Проведенные в этом параграфе рассуждения показывают, что при любой непрерывной функции f формула (37) определяет гармоническую функцию, непрерывно примыкающую к граничным значениям f.

Г л а в а. VIII. Уравнение Гельмгольца

§ 1. Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа

Запишем телеграфное уравнение для трехмерного пространства

(1)

где a₀, a₁, и a₂ – положительные постоянные. С одномерным случаем этого уравнения мы уже имели дело в § 9, гл.II. При оно переходит в волновое уравнение, при в уравнение теплопроводности и диффузии, а при , в уравнение диффузии для среды, в которой происходят химические реакции.

Следуя методу разделения переменных, будем искать решения уравнения (1) в следующем виде

(2)

где u(x) – функция трех пространственных координат, а v(x) – функция только времени. Подставляя выражение (2) в уравнение (1), получим соотношение

,

из которого мы получаем два уравнения

(3)

(4)

Уравнение (3) эллиптического типа называется уравнением Гельмгольца, с которым мы уже встречались ранее (§ 6, гл. III, лекция 9). Оно играет важную роль в математической физике ввиду своей простоты и большого значения задач, которые к нему приводят (волновые процессы, теплопроводность, диффузия и др.). Из формулы (2) следует, что уравнение Гельмгольца описывает изменение от точки к точке интенсивности того или иного процесса, т.е. описывает статическое состояние, а уравнение (4) описывает изменение во времени всей совокупности этой интенсивности. Суперпозицией решений вида (2) можно охватить широкий круг пространственно-временных зависимостей.

Наряду с однородным уравнением (1), мы будем рассматривать также неоднородное уравнение Гельмгольца:

(5)

Функции ρ в некоторых задачах, как мы видели, можно приписать смысл плотности распределения источников.

Для уравнения Гельмгольца, так же как и для уравнений Лапласа и Пуассона, ставятся граничные задачи Дирихле, Неймана и смешанные, как внешние, так и внутренние. Однако для формулировки внешних задач оказывается необходимым вводить дополнительно условие поведения решения на бесконечности.

В качестве примера рассмотрим некоторые задачи, приводящие к уравнению Гельмгольца.

Установившиеся колебания мембраны.

Рассмотрим вынужденные колебания мембраны S, закрепленной на ограничивающем её контуре С, под действием внешней удельной (рассчитанной на единицу площади) силы

(6)

Тогда уравнение колебаний мембраны будет иметь вид

, (7)

где ρ – поверхностная плотность.

Будем искать решение уравнения (8) в виде

Этот вид решения соответствует установившимся колебаниям с частотой ω и амплитудой v. Подставив его в уравнение (7), получим

,

откуда следует

, (8)

где

и

Уравнение Гельмгольца (8) есть уравнение для определения амплитуды установившихся колебаний мембраны. К этому уравнению нужно добавить граничное условие, соответствующее закреплению мембраны на границе:

(10)

Следует отметить, что задачи об установившихся колебаниях характерны также для акустики и теории электромагнитного поля.

Стационарные процессы диффузии газа при наличии распада и при цепных реакциях.

В §5 главы V были приведены уравнения диффузии при наличии распада молекул диффундирующего газа и при наличии цепных реакций:

, (11)

где u( x, y, z) – концентрация газа в единице объема

При записи этого уравнения предполагалось, что скорость реакций пропорциональна концентрации. Если эти процессы носят стационарный характер, то производная по времени будет рана нулю и вместо уравнения (11) мы получим уравнение Гельмгольца в виде

, (12)

или

, где .

Диффузия в движущейся среде

Если рассмотреть диффузию газа не в неподвижной среде, как это было в упомянутом уже §5 главы V, а в заданном стационарном потоке, скорость которого в точке M (x, y, z) вектором v, то количество газа, протекающего через элементарную площадку dσ в токе М будет равно

,

где D – коэффициент диффузии, n – нормаль к площадке dσ.

Поскольку внутри некоторого объема Т, ограниченного поверхностью S, в рассматриваемом случае источники газа отсутствуют, то суммарный поток через поверхность S равен нулю

Воспользовавшись формулой Гаусса-Остроградского, получим

Отсюда в силу произвольности объема Т вытекает уравнение диффузии в заданном стационарном потоке газа

(13)

К такому же уравнению мы придем и в задаче о распространении тепла в стационарно движущейся среде.

Если коэффициент диффузии D и скорость потока v являются постоянными величинами, то вместо уравнения (13) мы получим уравнение

, (14)

которое называют также уравнением газовой атаки. В одномерном случае, когда постоянная скорость основного потока направлена по оси x и равна v₀, оно будет иметь вид

Если положить

и затем выбрать , то для функции w мы получим уравнение Гельмгольца в виде

,

где .