§ 9. Регулярность гармонических функций трех переменных на бесконечности

Гармоническая функция трех переменных u(x, y, z) называется регулярной на бесконечности, если при достаточно большом r ≥ r₀ выполняются условия:

, а также (74)

Сформулируем без доказательства следующее утверждение.

Если функция и(x, y, z) гармонична вне некоторой замкнутой поверхности S и равномерно стремится к нулю на бесконечности, то она регулярна на бесконечности.

Напомним при этом, что условие равномерного стремления к нулю на бесконечности означает, что существует такая функция ε (r), стремящаяся к нулю при r стремящемся к бесконечности, что

. (75)

где r – радиус-вектор точки М.

§10. Единственность решения внешних краевых задач

В §7 мы уже рассмотрели вопросы единственности для внутренних краевых задач Дирихле и Неймана. Обратимся теперь к внешним краевым задачам. Сразу оговоримся, что внешние краевые задачи по-разному ставятся для трех и для двух независимых переменных. Начнем со случая двух независимых переменных.

Пусть Т – область, внешняя по отношению к некоторой замкнутой поверхности S. Тогда внешняя задача Дирихле формулируется следующим образом.

Требуется найти функцию u (x, y, z), удовлетворяющую следующим условиям:

1) в неограниченной области Т;

2) она непрерывна всюду, включая поверхность S;

3) , где – функция, заданная на поверхности S;

4) и(М) равномерно стремится к нулю на бесконечности.

Последнее условие является существенным для единственности решения. Это можно показать на простом примере.

Докажем, что внешняя задача Дирихле имеет единственное решение от противного. Допустим, что существует два решения и₁ и и₂, удовлетворяющих условиям 1) – 4). В этом случае разность этих функций v=и₁ – и₂ также будет решением задачи, но с нулевыми граничными условиями. Поскольку условие 4) будет также выполнено и для функции v, то для произвольного ε > 0 можно указать такое число R (радиус сферы), что

при r ≥ R

Если теперь взять область Т', заключенную между заданной поверхностью S и сферой S_r радиуса r (рис. 28), то из принципа максимального значения, примененного к области Т', будет следовать, что в каждой точке М' этой области и . В силу произвольности ε можем заключить, что функция v тождественно равна нулю в области Т', а значит и во всей области Т. Откуда следует, что , и единственность доказана.

Теперь сформулируем внешнюю задачу Неймана.

Требуется найти функцию u (x, y, z), удовлетворяющую следующим условиям:

1) в неограниченной области Т;

2) непрерывна всюду, включая поверхность S;

3) , где – функция, заданная на поверхности S;

4) и(М) равномерно стремится к нулю на бесконечности.

Выполнение условий 1) и 4) делают функцию и регулярной на бесконечности.

Покажем, что в такой постановке задача Неймана имеет единственное решение.

Предположим, что задача имеет два решения и₁ и и_2.. Тогда функция также будет решением, но при этом она будет удовлетворять однородному граничному условию

Теперь воспользуемся первой функцией Грина, применив её к бесконечной области. Положим в этой формуле и воспользуемся однородностью граничного условия для функции v. Тогда формула Грина сведется к выражению

Откуда, в силу непрерывности производных функции u следует, что

,

а значит . Однако, поскольку на бесконечности , то и , что и требовалось доказать.