§ 1. Скалярные поля

Цель этой короткой главы – лишь напомнить некоторые понятия, результаты, их математические формулировки и физический смысл, которые излагаются в курсе математического анализа, и которые потребуются нам в дальнейшем при изложении материала. Это касается понятий скалярного и векторного полей, а также дифференциальных операторов, применяемых к этим полям.

Наряду с понятием скалярной и векторной физической величины в математической физике часто пользуются понятиями скалярного поля и векторного поля.

Если в каждой точке М области D задано значение скалярной величины u, то эта величина является скалярной функцией точки, т.е. . В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле.

Для скалярного поля вводится понятие поверхности уровня, которая определяется как геометрическое место точек, в которых функция u имеет постоянное значение. В трехмерном случае это можно записать как

.

Градиент скалярной величины

Наряду с понятием поверхности уровня вводится понятие градиента, т.е. векторной величины, направление которой совпадает с направлением нормали к поверхности уровня скалярного поля (Рис. 1). Проекциями этого вектора на координатные оси служат частные производные от функции , т. е. :

. (1)

Рис. 1. К понятию градиента скалярной функции

Таким образом, градиент это вектор, который представляет собой результат применения некоего дифференциального оператора к скалярной функции.

Если векторное поле А в каждой точке М может быть задано как градиент некоторой функции U, т. е. А= grad U, то такое поле называют потенциальным, а функцию U – потенциалом.

Физический смысл градиента заключается в том, что его направление совпадает с направлением наибольшего возрастания скалярной величины. Так градиент температуры направлен к источнику тепла, а градиент потенциала электростатического поля к одиночному заряду и т.д. Модуль градиента характеризует степень возрастания скалярной величины.

§ 2. Векторные поля

Если в каждой точке М области D задан определенный вектор А(М), то говорят, что в области D задано векторное поле. Примерами векторных физических полей служат гравитационное поле, электромагнитное поле, поле скоростей текущей жидкости и т.д.

Для векторного поля вводят понятие векторной линии, т.е. линии, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора А(М) (Рис. 2).

Е сли векторное поле определяется функцией

, (2)

то векторная линия в пространстве задается следующей системой дифференциальных уравнений

Рис. 2. К понятию векторной линии

. (3)

Поток вектора

Важным понятием для векторного поля является поток вектора. Если векторное поле задано выражением (2), то для всякой поверхности S с нормалью n можно записать интеграл по этой поверхности от проекции вектора A на нормаль n, а именно

(4)

где α, β, γ – направляющие косинусы нормали. Формула (4) и определяет поток вектора A через поверхность S.

Физический смысл потока нагляднее всего иллюстрируется на примере потока жидкости, который есть не что иное, как объём жидкости, пересекающий единицу поверхности в единицу времени. Тогда поток жидкости через площадку dS будет равен объему параллелепипеда с ребром, равным скорости потока V и высотой, равной V_n (см. Рис. 3), а поток жидкости через всю поверхность S будет соответственно равен

(5)

Рис. 3. К физическому смыслу потока вектора