§ 5. Точечный источник

Предположим, что свободный член в уравнении (28) отличен от нуля только в небольшой сфере D с центром в начале координат. Тогда при стремлении радиуса этой сферы ε к нулю и при синхронном возрастании интенсивности внешней силы мы в пределе можем получить решение волнового уравнения для точечного источника, который начинает действовать с момента по заданной зависимости от времени f (x, y, z, t).

Положим для определенности, что внутри сферы

, (43)

считая по-прежнему

при

Обратимся теперь к формуле (39) и будем считать, что , при этом, очевидно, что достаточно произвести интегрирование по шару D_ε. При ε → 0 величина r будет равна расстоянию от начала координат до точки (x, y, z), т.е. , и мы получим, учитывая (43), что

(44)

Ясно, что при , так как при область интегрирования в интеграле (39) не содержит внутри себя шара D_ε при достаточно малых ε.

Отметим, что при любом выборе функции ω(t) функция (44) удовлетворяет уравнению (28) и представляет собой сферическую волну, расходящуюся радиально со скоростью а от начала координат. При этом воздействие на точку (x, y, z) в момент времени t зависит только от отдельного импульса, возникшего в начале координат в момент времени и пришедшего в точку (x, y, z).

В случае уравнения (40) мы должны, так же как и выше, считать, что

при ,

а вместо (43) написать

,

где С_ε – круг с центром в начале координат радиуса ε.

Обращаясь к формуле (42) и переходя к пределу при ε → 0, получим решение для точечного источника на плоскости

(45)

где и

§ 6. Уравнения малых поперечных колебаний мембраны.

Теперь мы покажем, что малые поперечные колебания мембраны описываются двумерным волновым уравнением (1). Мембраной называют тонкую пленку, которая находится в состоянии натяжения и не оказывает сопротивление изгибу и сдвигу. Покажем, что малые колебания мембраны описываются двумерным волновым уравнением.

Пусть бесконечная мембрана в положении равновесия расположена в плоскости (x,y) и находится под действием равномерного натяжения T, т.е. силы, приходящейся на единицу длины произвольного контура и направленной перпендикулярно этому контуру в каждой его точке. Будем также предполагать, что на мембрану параллельно оси 0u действует внешняя сила p( x, y, t), рассчитанная на единицу площади.

Будем рассматривать только поперечные смещения мембраны, при которых каждая её точка движется перпендикулярно плоскости (x,y). Смещения u каждой точки мембраны будут функцией координат этой точки x,y и времени t. Будем предполагать, что они настолько малы, что квадратами производных u_x и u_y можно пренебречь.

В

n

ыделим произвольный участок мембраны σ, ограниченный кривой l (Рис.3.1). В результате смещения этот участок деформируется и перейдет в некоторый участок σ ', ограниченный контуром l'. На этот участок в каждой его точке, в том числе и по контуру l' будет действовать равномерно распределенное натяжение Т, лежащее в плоскости касательной к поверхности мембраны. Сила этого натяжения равна Тdl', где dl' – элемент дуги кривой l'. Проекция силы Тdl' на ось 0u будет равна абсолютной величине Тdl', умноженной на косинус угла вектора Т с осью 0u, который в силу нашего предположения о малости величины смещения будет равен , где n – внешняя нормаль к контуру l.

В результате равнодействующая сил, приложенных к контуру l' будет равна

Поскольку при малых перемещениях мембраны можно считать , то мы можем в записанном интеграле путь интегрирования dl' заменить на dl. Тогда применяя формулу Грина, получим

(46)

Суммарная внешняя сила, действующая на участок σ ', будет равна

(47)

По второму закону Ньютона сумма сил (1) и (2) должна равняться интегралу

(48)

В результате получим

,

Откуда в силу произвольности участка σ следует, что

(49)

Это и есть уравнение малых поперечных колебаний мембраны. В случае, если мембрана однородная, полученное уравнение после некоторых переобозначений можно переписать следующим образом:

, (50)

где

и

В более компактной форме уравнение (50) можно записать также в следующем виде:

(51)

В качестве начальных условий для уравнения (50) или (51) задаются смещение и скорость любой её точки в начальный момент времени

(52)