§ 1. Волны в трехмерном пространстве

Сферически симметричная задача

Сначала рассмотрим для однородного уравнения

, (2)

задачу, обладающую центральной симметрией относительно некоторой точки М₀. В качестве примера можно привести задачу о радиальных колебаниях газа. Итак, будем искать решения уравнения (2)

,

где r – расстояние между точками М и М₀. В этом случае уравнение (2) после записи его в сферической системе координат можно свести к одномерному уравнению для функции

(3)

Причем, если функция u(r,t) ограничена при , то функция при обращается в нуль. В результате задача Коши для уравнения (2) с начальными условиями

и (4)

сводится к задаче о колебаниях полуограниченной струны с закрепленным концом в точке :

(5)

Эта задача была нами решена в §4 гл. II, поэтому, не умаляя общности, мы можем записать общее решение уравнения (3) в более удобном для нас виде

,

где f₁ и f₂ – произвольные дважды дифференцируемые функции. Тогда для функции будем иметь

(6)

Слагаемые в правой части (6) представляют собой частные решения уравнения (2)

и

и являются сферическими волнами; есть расходящаяся сферическая волна, а – сходящаяся сферическая волна. В отличие от плоских волн, сферическая волна убывает обратно пропорционально расстоянию от центра.

Учитывая теперь нулевое граничное условие , получим

или

Тогда решение (6) примет вид

(7)

и при , воспользовавшись формулой Лагранжа, можем записать

(8)

Формула Пуассона

Теперь решим однородное волновое уравнение

(9)

с начальными условиями

(10)

Будем предполагать, что φ(x,y,z) непрерывна вместе со своими производными до третьего порядка, а ψ (x,y,z) – до второго порядка включительно во всем пространстве.

Покажем сначала, что интеграл

, (11)

взятый по поверхности сферы радиуса с центром в точке M (x,y,z), является решением волнового уравнения (9), причем функция w(ξ,η,ζ) является произвольной. Координаты сферы могут быть выражены по формулам

, ,

где α, β, γ – направляющие косинусы текущего радиуса сферы , которые, как известно, могут быть записаны в виде

, , ,

где угол θ меняется от 0 до π и угол от 0 до 2π. Когда точка (ξ,η,ζ) описывает сферу , точка (α, β, γ) описывает сферу S₁ единичного радиуса с центром в начале координат, а между соответствующими элементами площади dσ_r и dσ₁ обеих сфер имеется соотношение

Тогда интеграл (11) приводится к виду

(12)

Отсюда легко заметить, что функция имеет непрерывные производные до k-го порядка, если функция w (ξ,η,ζ) непрерывна вместе со своими производными до k-го порядка.

Из формулы (12) находим

или, возвращаясь к первоначальной области интегрирования

(13)

Дифференцируя теперь выражение (12) по t, получим

(14)

Чтобы вычислить , перепишем последнее выражение в виде

и, применив формулу Остроградского, получим

где D_at – шар радиуса с центром в точке M (x,y,z). Обозначая в этой формуле определенный интеграл через I, мы можем переписать её в виде

Дифференцируя это выражение по t, получим

(15)

Теперь убедимся, что

(16)

Действительно, переходя в интеграле I к сферическим координатам с центом в точке M (x,y,z), имеем

Теперь дифференцируя это выражение по t, получим

Сравнивая (13), (15) и (16) убеждаемся, что функция , определяемая формулой (11), удовлетворяет волновому уравнению (9), какова бы ни была функция w(x,y,z), имеющая производные до второго порядка включительно.

Из формул (12) и (14) следует, что в этом виде функция u удовлетворяет начальным условиям

(17)

Тогда, если функция u есть решение волнового уравнения (9) с начальными условиями (17), то можно убедиться, что функция

будет также решением уравнения (9), удовлетворяющим начальным условиям

(18)

Взяв теперь в качестве функции w(x,y,z) в начальных условиях (17) функцию , а в начальных условиях (18) функцию и сложив построенные таким образом решения, мы получим решение уравнения (9), удовлетворяющее начальным условиям (10).

Таким образом, решение уравнения (9), удовлетворяющее начальным условиям (10), запишется в виде

(19)

Эта формула называется формулой Пуассона.

Физическая картина распространения волн в трехмерном пространстве

Чтобы яснее представить физическую картину распространения волн в трехмерном пространстве, описываемое формулой Пуассона (19), положим, что начальное возмущение сосредоточено в некоторой ограниченной области D с границей S, т.е. функции φ и ψ равны нулю вне области D. Пусть точка M (x, y, z) находится вне области D. Обозначим через d и l соответственно наименьшее и наибольшее расстояния от точки M до точек поверхности S (Рис. 17). При сфера S_at находится вне области D, а значит функции φ и ψ равны нулю на сфере S_at, тогда из формулы (19) имеем u (M, t) = 0.

И наче говоря, начальное возмущение ещё не успело дойти до точки M. В момент сфера S_at коснется поверхности S и передний фронт волны накроет точку M. Начиная с этого момента, сфера S_at начинает пересекать область D и согласно формуле (19), мы будем иметь . Наконец, при сфера S_at снова не будет иметь общих точек с поверхностью S (вся область D будет лежать внутри сферы S_at) и согласно формуле (19) мы будем снова иметь u(M, t) = 0. Моменту времени соответствует прохождению заднего фронта волны через точку M.

Из изложенного следует, что передний фронт волны в заданный момент времени представляет собой поверхность, отделяющую точки, которые ещё не начали колебаться от точек, которые уже колеблются. Все точки этого фронта имеют кратчайшее расстояние от S, равное at. Иначе говоря, передний фронт волны есть огибающая семейства сфер, имеющих центры на поверхности S и радиус, равный at. Задний фронт волы в заданный момент времени t представляет собой поверхность, отделяющую точки, которые ещё продолжают колебаться от точек, которые уже не колеблются. Постоянная a является скоростью распространения, как переднего, так и заднего фронта волны.