Графическая интерпретация

Первый частный случай имеет простую графическую интерпретацию. На рис. 12. показано, как начальное смещение расщепляется на две полуволны, движущиеся в противоположных направлениях.

Приведенная схема может служить графическим способом построения решения задачи Коши с нулевой начальной скоростью.

Рис. 12. Графическая иллюстрация первого частного случая.

Для второго частного случая на рис. 14 приведены графики полученного смещения в случае в моменты времени и

Рис. 13. Графическая иллюстрация второго частного случая.

§ 4. Метод характеристик

Ещё один способ решения задачи Коши можно получить исходя из пространственно-временной интерпретации формулы Даламбера. Сначала рассмотрим 1-й частный случай, когда начальная скорость точек струны равна нулю. В этом случае решение определяется формулой (20)

Из этой формулы следует, что функция f остается постоянной, если сохраняют свое значение выражения x – at или , т.е. , . На плоскости (x, t) эти выражения представляют собой уравнения прямых, называемых характеристиками волнового уравнения (Рис. 14).

Вдоль указанных прямых функция f сохраняет своё значение, которое она имела на оси x т.е. в начальный момент времени, а совокупность этих значений нам известна как начальное смещение струны. Таким образом, решение задачи Коши для уравнения колебания струны для любой точки плоскости (x, t) можно получить, проведя через неё две характеристики, уравнения которых будут

и взяв полусумму значений функции f, которые она имеет на этих характеристиках.

Используя такую интерпретацию формулы Даламбера, решим задачу, сформулированную в предыдущем параграфе, а именно

в интервале и 0 во всех остальных точках

u_t (x,0) = 0

На рис. 15 решение задачи изображено в плоскости переменных x, t , а не u, x как в предыдущем параграфе. Всё полупространство получается разбитым на 6 областей. В трех из них решение равно нулю, в двух – одной второй и в одной – единице.

Теперь перейдем к случаю, когда начальное смещение равно нулю, а начальная скорость является произвольной функцией координаты g (x). В этом случае решение имеет вид (15).

Значение величины u в каждой точке (x₀, t₀) можно интерпретировать как интеграл от начальной скорости в пределах от до , т.е.

(23)

В качестве примера построим решение задачи Коши в координатах x,t с начальными условиями

Подставляя в формулу (23) в каждой из шести областей (см. Рис.15) свои значения функции g(ζ) и свои пределы интегрирования, получим

В областях 1 и 5 и следовательно ; в остальных областях , при этом

в области 2 пределы интегрирования от – 1 до и ,

в области 3 пределы интегрирования от + 1 до –1 и ,

в области 4 пределы интегрирования от до 1 и ,

в области 6 пределы интегрирования от до и .

С физической точки зрения рассматриваемый процесс можно пояснить следующим образом. Пусть точка x лежит правее промежутка (– 1, 1). При t = 0 промежуток интегрирования ( , ) вырождается в точку x, а затем при увеличении t он расширяется в обе стороны со скоростью a. При этот промежуток будет находиться вне промежутка (– 1, 1) и функция g (x) в нем будет равна нулю, а значит и u(x, t) = 0, т.е. точка x покоится. Начиная с момента времени промежуток ( , ) будет покрывать интервал (– 1, 1) , в котором в котором функция g (x) равна единице и точка x начнет перемещаться по мере прохождения фронта волны через точку x. Наконец, при промежуток ( , ) будет целиком содержать интервал (– 1, 1) и интегрирование будет сводиться к интегрированию в этом интервале, т.е. при смещение токи x будет оставаться постоянным и равным 1/a. Момент времени является моментом прохождения заднего фронта волны через точку x.

Этот процесс схематично проиллюстрирован на рис. 16. Таким образом, действие начального импульса приводит к тому, что с течением времени точки струны перемещаются на отрезок длиной u=1/a и остаются без движения в этом новом положении. Иначе говоря, волна оставляет после себя след своего прохождения. В результате положения u=1/a сначала достигает точка с координатой x=0, после чего область смещения постепенно распространяется на всю длину бесконечной струны.

Рис. 16. Графическое изображение решения в плоскости (x, t) при нулевом начальном смещении.