В. П. Трегубов
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
ДЛЯ ПРИКЛАДНЫХ МАТЕМАТИКОВ И ФИЗИКОВ
Курс лекций.
Часть I.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Санкт-Петербург
2014
УДК 501 (517.946)
В. П. Трегубов
Математическая физика для прикладных математиков и физиков. Курс лекций.
Часть I. Дифференциальные уравнения математической физики. Изд-во сПбГу, 2014,….С.
Курс лекций "Математическая физика для прикладных математиков и физиков" состоит из двух частей. В первой части "Уравнения математической физики" рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям в частных производных, излагается вывод основных уравнений математической физики, а также основные методы решения этих уравнений.
Во второй части "Дополнительные главы математической физики" даётся описание специальных функций, интегральных уравнений Фредгольма и Вольтера, кинетических уравнений, обратных задач математической физики, а также некоторых численных методов решения уравнений математической физики.
В основу предлагаемого учебного пособия положены лекции, читаемые в Санкт-Петербургском университете, на факультете прикладной математики–процессов управлений для бакалавров по направлению "Прикладные математика и физика". При изложении материала автор старался опираться на физическую постановку задач, что определило и порядок изложения материала.
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Предмет математической физики
Основные понятия и определения
Классификация квазилинейных уравнений второго порядка
Г л а в а I. Скалярные и векторные поля. Дифференциальные операторы
§ 1. Скалярные поля
§ 2. Векторные поля
§ 3. Оператор Гамильтона и дифференциальные операторы второго порядка
Г л а в а II. Одномерное волновое уравнение
§ 1. Уравнение малых поперечных колебаний струны
§ 2. Случай ограниченной струны
§ 3. Решение задачи Коши
Формула Даламбера
Частные случаи
Графическая интерпретация
§ 4. Метод характеристик
§ 5. Случай полубесконечной струны
§ 6. Метод разделения переменных для уравнения колебания ограниченной струны
Замечание о колебании музыкальных струн
§ 7. Вынужденные колебания струны, закрепленной на концах
§ 8. Продольные колебания однородного стержня
§ 9. Случай ненулевых граничных условий
§ 10. Телеграфное уравнение
§ 11. Общая схема метода разделения переменных для однородных
гиперболических уравнений
§ 12. Задача Гурса
§ 13. Теорема единственности решения краевых задач
для одномерного волнового уравнения
Г л а в а III. Двумерные и трехмерные задачи для волнового уравнения
§ 1. Волны в трехмерном пространстве
Сферически симметричная задача
Формула Пуассона
Физическая картина распространения волн в трехмерном пространстве
§ 2. Двумерное волновое уравнение
§ 3. Теорема единственности для двумерного волнового уравнения
§ 4. Трехмерное неоднородное волновое уравнение
§ 5. Точечный источник
§ 6. Уравнения малых поперечных колебаний мембраны
§ 7. Граничные условия.
§ 8. Решение задачи о колебаниях круглой мембраны
Г л а в а IV. Некоторые общие вопросы теории дифференциальных уравнений гиперболического типа
§ 1. Задача Коши. Характеристики.
§ 2. Слабый разрыв. Фронт волны
Г л а в а V. Уравнение теплопроводности и диффузии
§ 1 . Уравнение теплопроволности для однородного стержня
§ 2. Граничные условия и их физический смысл
§ 3. Применение метода разделения переменных
§ 4. Задача о распространении тепла в изотропном твердом теле
§ 5. Уравнение диффузии
§ 6. Принцип максимального значения.
§ 7. Теорема единственности для неоднородного уравнения теплопроводности
Г л а в а VI. Стационарные задачи математической физики
§ 1. Уравнения Пуассона и Лапласа
Стационарное тепловое поле
Уравнения электростатики.
Потенциальное течение жидкости
§ 2. Оператор Лапласа в криволинейных координатах
§ 3. Фундаментальное решение уравнения Лапласа
§ 4. Гармонические функции.
§ 5. Формулы Грина
§ 6. Свойства гармонических функций
§ 7. Единственность решения краевых задач
Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле
Теорема единственности для задачи Неймана
§ 8. Изолированные особые точки
§ 9. Регулярность гармонических функций на бесконечности
§ 10. Единственность решения внешнич краевыч задач
§ 11. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом разделения
переменных.
Интегральная формула Пуассона
§ 11. Функция источника для уравнения Лапласа
§ 12. Решение задачи Дирихле в круге для уравнения Пуассона. Функция Грина.
Г л а в а VII. Теория потенциала
§ 1. Объемный потенциал
§ 2. Плоская задача. Логарифмический потенциал
§ 3. Потенциалы простого и двойного слоя
§ 5. Поверхности Ляпунова
§ 6. Разрывы потенциала двойного слоя.
§ 7. Поведение потенциала простого слоя при переходе через границу
§ 8. Применение поверхностных интегралов к решению краевых задач
§ 9. Задачи Дирихле для круга.
Г л а в а. VIII. Уравнение Гельмгольца
§ 1. Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа
Установившиеся колебания мембраны.
Стационарные процессы диффузии газа при наличии распада и цепных реакций.
Диффузия в движущейся среде
§ 2. Внутренняя краевая задача
§ 3. Сферически симметричное решение уравнения Гельмгольца
в ограниченной области
§ 4. Сферически симметричное решение уравнения Гельмгольца
для неограниченной области
Г л а в а IX. Уравнения теории упругости
§ 1. Уравнения динамической теории упругости
§ 2. Скалярный и векторный потенциалы
Г л а в а X. Уравнения электромагнитного поля
§ 1. Система уравнений Лоренца-Максвелла
§ 2. Усреднённые уравнения Лоренца-Максвелла
Г л а в а XII. Уравнения гидродинамики и газовой динамики
§ 1. Течение идеальной жидкости
§ 2. Течение вязкой жидкости
Ньютоновские жидкости
Неньютоновские жидкости
§ 3. Постановка граничных условий
§ 4. Уравнения газовой динамики
§ 5. Закон сохранения энергии
§ 6. Звуковые колебания в жидкости и газе
Литература