§4. Интервальные оценки

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный параметр.

1. Интервальной оценкой с надежностью математического ожидания а нормально распределенного количественного признака по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

,

Где =δ – точность оценки, n - объем выборки, t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t) при котором Ф(t)=γ/2.

2. При неизвестном σ (и объеме выборки n<30)

,

где s - «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, t находят по таблице квантилей распределения Стьюдента по заданным n и γ.

Пример 1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратичное отклонение σ = 5, выборочная средняя = 14 и объем выборки n = 25.

Решение. Требуется найти доверительный интервал

,

Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения Ф(t) = 0,95/2=0,475. По таблице находим t = 1,96. Подставив t = 1,96, = 14, σ = 5, n = 25, окончательно получим искомый доверительный интервал 12,04 < a < 15,96.

Пример 2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 10, представленная в табл. 12.

Таблица 12

варианта xi	-2	1	2	3	4	5
частота ni	2	1	2	2	2	1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Решение. Выборочную среднюю и «исправленное» среднее квадратичное отклонение найдем соответственно по формулам:

, .

Подставив в эти формулы данные задачи, получим = 2, s = 2,4. Найдем t_γ. Пользуясь таблицей, по γ = 0,95 и n = 10 находим t_γ = 2,26. Найдем искомый доверительный интервал:

.

Подставляя в эти формулы данные задачи, получим = 2, t_γ = 2,26, s = 2,4, n= 10, получим искомый доверительный интервал 0,3< a < 3,7, покрывающий неизвестное математическое ожидание а с надежностью 0,95.

3. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратичное отклонение σ, выборочная средняя и объем выборки n: a) σ = 4, = 10,2, n=16; б) σ = 5, = 16,8, n = 25.

4. Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайный ошибок измерений σ = 40 м произведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надежностью γ = 0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений = 2000 м. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

5. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000 ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратичное отклонение продолжительности горения лампы σ = 40 ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально.

6. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 12, представленная в табл. 13. Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала.

Таблица 13

варианта xi	-0,5	-0,4	-0.2	0	0,2	0,6	0,8	1	1,2	1,5
частота ni	1	2	1	1	1	1	1	1	2	1

Тестовые задания.

1. По данному распределению выборки:

x_i –3 –2 –1 0

n_i 3 6 4 2

найти выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию S².

2. По данному распределению выборки:

x_i –4 –1 –2 5

n_i 2 3 6 4

н

14

айти выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию S².

3. По данному распределению выборки:

x_i –6 –3 0 3

n_i 5 6 7 4

найти выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию S².

4. По данному распределению выборки:

x_i –1 3 7 11

n_i 5 7 8 4

найти выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию S².

5. Случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием M(X) и известной дисперсией ² = 100. По выборке объема n = 80 вычислено выборочное среднее = 120. Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения M(X), отвечающий доверительной вероятности  = 0,91.

6. Случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием M(X) и известной дисперсией ² = 100. По выборке объема n = 90 вычислено выборочное среднее = 130. Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения M(X), отвечающий доверительной вероятности  = 0,92.

7.

Случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием M(X) и известной дисперсией ² = 100. По выборке объема n = 70 вычислено выборочное среднее = 140. Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения M(X), отвечающий доверительной вероятности  = 0,93.

8. Случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием M(X) и известной дисперсией ² = 100. По выборке объема n = 60 вычислено выборочное среднее = 110. Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения M(X), отвечающий доверительной вероятности  = 0,94.

9. Число отказов прибора в течение пяти лет гарантийного срока службы есть случайная величина. Для 50 выбранных приборов число указанных отказов было следующим: 1, 0, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 3, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 4, 3, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 2, 1, 0. Требуется: а) построить вариационный ряд исходных данных, рассчитать часто­ты, построить полигон частот и график эмпирической функции; б) рассчитать числовые характеристики выборки.

10. Размеры дневной выручки магазина (в тысячах рублей) в течение месяца были следующими: 220, 241, 223, 228, 190, 184, 205, 228, 272, 196, 225, 238, 202, 245, 184, 230, 188, 204, 209, 238, 247, 264, 216, 207, 232, 224, 210, 221, 208, 239. Требуется: а) построить вариационный ряд исходных данных, рассчитать часто­ты, построить полигон частот и график эмпирической функции; б) рассчитать числовые характеристики выборки.

11. Ниже приведены результаты вступительных экзаменов (по 10-балльной системе) по математике 40 случайно выбранных абитуриентов: 8, 7, 8, 8, 9, 10, 8, 7, 7, 8, 4, 8, 5, 6, 3, 3, 2, 8, 9, 4, 10, 3, 9, 8, 6, 10, 3, 9, 6, 5, 4, 8, 7, 4, 9, 8, 4, 3, 2, 8, 9, 9. Требуется: а) построить вариационный ряд исходных данных, рассчитать часто­ты, построить полигон частот и график эмпирической функции; б) рассчитать числовые характеристики выборки.

12. Для приведенных ниже сгруппированных данных (табл. 14) определите среднее выборочное, эмпирическую дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Таблица 14

Интервалы изменения данных	7 – 10	10 – 13	13 – 16	16 – 19	19 – 22	22 – 25	25 – 28
Число данных в интервале	4	8	12	22	3	15	9