2. Статистические оценки параметров распределения двумерного случайного вектора

Пример1. Вычислить выборочные средние , , несмещенные оценки дисперсий , и коэффициент корреляции для выборки

	8	10	5	8	9
	1	3	1	2	3

Решение. Для расчетов воспользуемся формулами

, (4)

где n – объем выборки, n_ij – частота появления пары элементов (x_i, y_j) выборки; n_i – частота появления элемента x_i (при любом y); n_j – частота появления элемента y (при любом x).

В рассматриваемом примере среди значений x_i, y_j нет повторяющихся, поэтому

Вычисления удобно свести в таблицу.

Таблица 8

i
1	2	3	4	5	6	7	8
1	8	1	64	1	8	9	81
2	10	3	100	9	30	13	169
3	5	1	25	1	5	6	36
4	8	2	64	4	16	10	100
5	9	3	81	9	27	12	144
	40	10	334	24	86		530

Последний столбец таблицы служит для контроля вычислений с помощью тождества

(В данном случае: 530 = 334 + 2∙86 + 24).

Используя данные из последней строки и учитывая (8), по формулам (4)–(7) получаем

Пример 2. В табл. 9 приведены результаты измерений двух физических величин в ходе некоторого эксперимента

Таблица 9

Вычислить средние, несмещенные оценки дисперсий и коэффициента корреляции, предварительно сгруппировав выборку и составив корреляционную таблицу.

Решение. Определим размах выборки по х и по у

В данном случае для группировки элементов выборки удобно использовать четыре интервала по х и два интервала по у. Определим длины интервалов группировки

Группировку выборки можно производить по диаграмме рассеивания (см. рис. 9). Для построения этой диаграммы нанесем элементы выборки (x_i, y_j) в виде точек на плоскость с выбранной системой координат.

Рис. 9

Будем считать, что элементы выборки, которые попали на границу двух соседних прямоугольников, относятся к верхнему или к правому прямоугольнику, и составим корреляционную таблицу.

Таблица 10

y	x	46-50	50-54	54-58	58-62
		48	52	56	60
16-18	17	2	4	1	3
18-20	19	3	6	4	1

Здесь x_i^*, y_j^* – означают середины интервалов группировки. В клетках таблицы записываются частоты (то есть число пар исходной выборки, попавших в данный прямоугольник) для каждого прямоугольника на диаграмме рассеивания.

Для вычисления искомых оценок параметров распределения по сгруппированной выборке можно использовать те же формулы (4)–(7), в которых x_i, y_j следует заменить на x_i^*, y_j^*, а , , – на частоты попадания элементов выборки в соответствующие интервалы , , .

Однако, если x_i^*, y_j^* достаточно велики, то для упрощения вычислений рекомендуется ввести вспомогательные случайные величины

где d_x, d_y – наиболее часто встречающиеся значения x_i^* и y_j^*. Найти их параметры распределения по формулам, аналогичным (4)–(7), а затем воспользоваться соотношениями

(11)

В заданном примере .

Результаты промежуточных вычислений представим в виде таблицы (табл. 11).

По формулам (4) - (7) используя найденные в таблице вспомогательные суммы ,,,, и вычислив имеем

Таблица 11

xi*		48	52	56	60
yj*	ui vj	-1	0	1	2
17	-1	2	4	1	3	10	-10	10
19	0	3	6	4	1	14	0	0
		5	10	5	4
		-5	0	5	8
		5	0	5	16

Возвращаясь к заданным случайным величинам, по формулам (11) получим

Пример 3. По выборке из примера 2 оценить параметры линейной регрессии X на Y и Y на X и составить уравнения прямых регрессии.

Решение. Уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y были получены в курсе теории вероятностей и имеют вид

Заменяя в этих уравнениях числовые характеристики m_x, m_y, , , r_xy их статистическими оценками, получим

(12)

(13)

Подставляя в эти уравнения найденные в предыдущем примере значения , , S_x, S_y, r_xy имеем

Отсюда следует, что уравнения линейной регрессии Y на X и X на Y имеют соответственно вид

Отметим, что эти прямые пересекаются в точке (). Угол между ними уменьшается при увеличении , а при = 1, прямые регрессии совпадают.

Решите примеры, используя данные своего варианта, приведенные в Приложении 2, табл. 1,2.

4. В ходе некоторого эксперимента были многократно измерены две физические величины X и Y. Результаты измерений записаны в таблицу. Обработайте результаты эксперимента по следующему плану:

1) постройте диаграмму рассеивания;

2) составьте корреляционную таблицу;

3) вычислите средние, несмещенные оценки дисперсий среднеквадратичных отклонений и оцените коэффициент корреляции;

4) составьте уравнения прямых регрессии и нанесите эти прямые на диаграмму рассеивания.

5. Вычислить выборочные средние , , несмещенные оценки дисперсий , и коэффициент корреляции для выборки, представленной в табл. 2 приложения 2.