Решение:

Строим вариационный ряд случайной величины, размещая данные выборки в порядке возрастания:

0,02 0,05 0,06 0,09 0,1 0,11 0,11 0,13 0,14 0,17 0,19 0,27 0,28 0,32 0,36 0,41 0,41

0,42 0,49 0,5 0,51 0,56 0,56 0,61 0,7 0,75 0,82 0,83 0,86 0,88 0,89 0,94 0,94 0,95

1,03 1,11 1,11 1,13 1,27 1,32 1,43 1,48 1,51 1,52 1,76 1,8 1,85 1,93 1,94 1,99 2,02

2,1 2,16 2,2 2,33 2,4 2,42 2,42 2,51 2,59 2,6 2,69 2,85 2,88 3,02 3,03 3,04 3,08 3,23

3,29 3,3 3,32 3,42 3,55 3,61 3,63 3,68 3,72 3,85 3,89 4,01 4,33 4,38 4,79 4,88 4,89 4,96

5,11 5,64 6,07 6,44 6,85 6,88 6,92 7,04 7,35 7,76 7,78 14,72 16,86

Строим график эмпирической функции распределения F*(x) (рис. 10.1). Так как F*(x) является неубывающей функцией и все ступеньки графика F*(x)имеют одинаковую величину 1/n, то таблицу значений эмпирической

функции распределения F*(x) можно не вычислять, а построить ее график

непосредственно по и вариационному ряду, начиная с его первого значения.

Рис 10.1

Рисунок 6 Графики эмпирической F*(x) (синий) и гипотетической функций распределения F₀(x) (красный).

Количество интервалов M, необходимое для построения гистограмм,

определим по объему выборки:

;

Для равноинтервальной гистограммы рассчитаем величины hj, Aj, Bj и заполним все колонки интервального статистического ряда (таблица. 10.1):

Таблица 10.1

j	Aj	Bj	hj	vj	pj*	fj*
1	0,02	1,704	1,684	44	0,44	0,2613
2	1,704	3,388	1,684	28	0,28	0,1663
3	3,388	5,072	1,684	15	0,15	0,0891
4	5,072	6,756	1,684	4	0,04	0,0238
5	6,756	8,44	1,684	7	0,07	0,0416
6	8,44	10,124	1,684	0	0	0,0000
7	10,124	11,808	1,684	0	0	0,0000
8	11,808	13,492	1,684	0	0	0,0000
9	13,492	15,176	1,684	1	0,01	0,0059
10	15,176	16,86	1,684	1	0,01	0,0059

Равноинтервальная гистограмма имеет вид, согласно рис. 10.2:

Рисунок10.2. Равноинтервальная гистограмма

Для равновероятностной гистограммы рассчитаем величины ν_j, p_j^*, A_j, B_j, и заполним все колонки интервального статистического ряда (таблица. 10.2):

таблица. 10.2

j	Aj	Bj	hj	vj	pj*	fj*
1	0,02	0,18	0,16	10	0,1	0,6250
2	0,18	0,505	0,325	10	0,1	0,3077
3	0,505	0,885	0,38	10	0,1	0,2632
4	0,885	1,375	0,49	10	0,1	0,2041
5	1,375	2,005	0,63	10	0,1	0,1587
6	2,005	2,595	0,59	10	0,1	0,1695
7	2,595	3,295	0,7	10	0,1	0,1429
8	3,295	3,95	0,655	10	0,1	0,1527
9	3,95	6,255	2,305	10	0,1	0,0434
10	6,255	16,86	10,605	10	0,1	0,0094

Равновероятностная гистограмма имеет вид, согласно рис. 10.3:

Рисунок10.3. Равновероятностная гистограмма

Вычислим точечную оценку математического ожидания по формуле:

;

Вычислим точечную оценку дисперсии по формуле:

;

Построим доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,95. Для этого в таблице функции Лапласа найдем значение, равное γ/2= 0,475, и определим значение аргумента, ему соответствующее: z_0,95=argΦ(0,475)=1,96. Затем вычислим

;

и получим доверительный интервал для математического ожидания:

I_0,95(m_x­)=[ 2,116; 3,206].

Построим доверительный интервал для дисперсии с надежностью γ = 0,95 по формуле (10.9). Вычислим

;

и получим доверительный интервал для дисперсии:

I_0,95(D_x­)=[ 5,975; 9,492].

По виду графика эмпирической функции распределения F*(x) и гистограмм выдвигаем двухальтернативную гипотезу о законе распределения случайной величины

H₀ – величина X распределена по нормальному закону:

H₁ – величина X не распределена по экспоненциальномузакону:

f(x) ≠ f₀(x), F(x) ≠ F₀(x),

Определим оценки неизвестных параметров m и σ гипотетического

(экспоненциального) закона распределения:

m_x^*= ; σ^*=S₀= = 2,781;

Таким образом, получаем полностью определенную гипотетическую

функцию распределения:

Вычислим значение критерия на основе равноинтервального статистического ряда по формуле:

Теоретические вероятности p_i попадания в интервалы равноинтервального статистического ряда нормальной случайной величины с параметрами m^*= 2,661 ; σ^*=2,781 вычислим по формуле:

Значения функции Лапласа определяем с помощью специальной таблицы. Результаты расчета сводим в таблицу 10.3:

Таблица 10.3

j	Aj	Bj	F0(Aj)	F0(Bj)	pj	pj*	(pj-pj*)^2/pj
1	-∞	1,704	0	0.36537	0,365370	0,44	0,015243
2	1,704	3,388	0.36537	0.60311	0,237740	0,28	0,007512
3	3,388	5,072	0.60311	0.80701	0,203900	0,15	0,014248
4	5,072	6,756	0.80701	0.92955	0,122540	0,04	0,055596
5	6,756	8,44	0.92955	0.98114	0,051590	0,07	0,006569
6	8,44	10,124	0.98114	0.99635	0,015210	0	0,01521
7	10,124	11,808	0.99635	0.99949	0,003140	0	0,00314
8	11,808	13,492	0.99949	0.99995	0,000460	0	0,00046
9	13,492	15,176	0.99995	0.999997	0,000047	0,01	2,107706
10	15,176	+∞	0.999997	1	0,000003	0,01	33,31333
				Сумма:	1	1	35,53902

Проверяем выполнение контрольного соотношения для p _j :

В результате получаем =100*35,53902=3553,902;

Вычислим число степеней свободы по формуле k = M−1−s=10−1−2=7 и по заданному уровню значимости α =0,05 из таблицы распределения χ2 выбираем критическое значение _χα;7²=χ_0,05;7²=14,07.

Проверим гипотезу о экспоненциальном законе с помощью критерия

Колмогорова. Построим график F₀(x) в одной системе координат с графиком

эмпирической функции распределения F^*(x) (см. рис 10.1). В качестве

опорных точек для графика F₀(x)используем 10 значений F₀(Aj) из таблицы.10.3. По графику определим максимальное по модулю отклонение между функциями F^*(x) и F₀(x) (см. рисунок 10.1):

Вычислим значение критерия Колмогорова по формуле:

Из таблицы Колмогорова по заданному уровню значимости α=0,05 выбираем критическое значение λ_γ=λ_1-α=λ_0,95=1,36.

Так как λ=0,4 ≤ λ_0,95=1,36, то гипотезу H₀ о нормальном законе

распределения отвергать нет основания.