ЗАДАЧА 1.4

Подбрасываются две игральные кости. 1.4. Определить вероятность того, что выпадут одинаковые числа.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим это событие буквой A. Событию A благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6). Всего равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, в данном случае n = 6² = 36 . Значит, искомая вероятность

Ответ: .

ЗАДАЧА 2.4

На рисунке 1 приведена схема соединения элементов, образующая цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, соответственно равны p1=0,1; p2=0,2. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Рис.1

РЕШЕНИЕ:

Обозначим безотказную работу цепи – В. Тогда

В=В₁*В₂;

для последовательно соединенных элементов, где В₁ и В­₂–вероятности безотказной работы, соответственно.

В₁=1– p₁ ;

В₂=1– p₂ ;

где p_i – вероятность безотказной работы i-го элемента.

Тогда:

Вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход, это одновременная безотказная работа элементов 1 и 2:

Ответ: 0,72

Задача 3.4

Два станка производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом станке равна 0,075, а на втором – 0,09. Производительность второго станка вдвое больше, чем перво- го. Найти вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь нестандартна.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через А событие – получения нестандартной детали. Можно рассмотреть две гипотезы:

Н1 – деталь произведена первым станком P (H 1 ) = 1 / 3 ;

Н2–деталь произведена вторым станком, причем (поскольку второй станок производит вдвое больше деталей, чем первый) P (H 2 ) = 2 / 3 .

Вероятность того, что деталь будет получена нестандартной, если она произведена первым станком P ( A / H 1 ) = 0,075 .

Вероятность того, что деталь будет получена нестандартной, если она произведена вторым станком P ( A / H 2 ) = 0,09 .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется нестандартна, по формуле полной вероятности равна:

P ( A) = P (H 1 ) ⋅ P ( A / H 1 ) + P (H 2 ) ⋅ P ( A / H 2 ) = 1 / 3 ⋅ 0,075 + 2 / 3 ⋅ 0,09 = 0,085

Ответ: 0,085

ЗАДАЧА 4.4

Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?

РЕШЕНИЕ:

По условию задачи необходимо найти чему равно наивероятнейшее число выпадений 6:

_k=2

_{Ответ: н}аивероятнейшее число выпадений 6 равно 2-ум.

ЗАДАЧА 5.4

Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений 1, 2, 3, 4, 5 с вероятностями 0,3, 0,3, 0,1, 0,1, 0,2 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

РЕШЕНИЕ:

Находим математическое ожидание:

М[x]=1*0,3+2*0,3+3*0,1+4*0,1+5*0,2=2,6;

D[X] =

=1^2*0,3+2^2*0,3+3^2*0,1+4^2*0,1+5^2*0,2=9;

D[X] =9-2,6^2=2,24;

Функцию распределения определим следующим образом:

x<=1: F(x)=0;

1<x<=2: F(x)=p₁=0,3;

2<x<=3: F(x)=p₁+ p₂=0,3+0,3=0,6;

3<x<=4: F(x)= p₁+ p₂+ p₃=0,6+0,1=0,7;

4<x<=5: F(x)= p₁+ p₂+ p₃+ p₄ =0,7+0,1=0,8;

x>5: F(x)= p₁+ p₂+ p₃+ p₄ +p₅=0,8+0,2=1,0;

Строим график функции распределения(см. рисунок 2).

Рисунок 2

ЗАДАЧА 6.4

Случайная величина Х задана плотностью вероятности:

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал

[-1,2].

РЕШЕНИЕ:

Для нахождения коэффициента с воспользуемся свойством нормировки плотности распределения:

Откуда

Плотность вероятности примет вид:

Определим функцию распределения F(x). Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и ее первообразную – функцию распределения – будем искать по формуле

для каждого интервала в отдельности.

_Для

_Для

_Для

_{Окончательно имеем:}

_{Вычислим вероятность по формуле}

_{Так как правый край интервала [-1;2], меньше чем 3, то}

_{Вычислим математическое ожидание СВ :}

_{Дисперсию случайной величины СВ вычислим:}

ЗАДАЧА 7.4

Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [-2,0]. Построить график случайной величины Y=|x+1|+2 и определить плотность вероятности g(y).

РЕШЕНИЕ:

1. Построим график функции Y=|x+1|+2 для x в интервале [-2,0] и определим диапазон значений Y: Y[0; 3] (рис. 3).

_φ(x)

2. _{Выделим интервалы по оси у в зависимости}

_{от кол-ва обратных функций}

_{а) n = 0}

_{б) n = 2}

_{рис 3.}

_{в) n = 0}

3. _{Выделим интервалы по оси Y, на которых обратных функций нет:}

у є (-∞;2) U (3; ∞) n=0

4. _{Находим плотность вероятности равномерного закона распределения с.в. Х:}

_F(φ-1(x))

_Рис.4

5. _{Для каждого интервала находим обратные функции и их производные:}

6. _{Находим для каждого интервала плотность вероятности величины Y:}

7. _{Запишем плотность вероятности величины Y от плотности вероятности для всех интервалов:}

_Ответ:

ЗАДАЧА 8.4

Двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 5 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

X1	X2	X3	X4	X5	X6	Y1	Y2
0	2	4	4	4	4	1	2

y

0 x

Рисунок 5

РЕШЕНИЕ:

Построим область В соединив последовательно точки с координатами из таблицы.

Совместная плотность вероятности примет вид

ограниченный поверхностью распределения и плоскостью xOy должен быть

равен единице

Неизвестную константу c определим, используя условие нормировки

плотности вероятности:

Следовательно : c=1/6;

Таким образом

Проверим геометрически полученный результат. Объем тела,

, т.е. объем прямой призмы с основанием в виде прямой трапеции равен:

Вычислим математическое ожидание:

Вычислим дисперсии:

Вычислим корреляционный момент:

После нормировки получаем коэффициент корреляции:

Ответ: c=1/6; m_x=1,5; m_y=0,889; D_x=0,9136; D_y=0,321; K_xy= -0,1604; R_xy= - 0,296