Задача 9.4

Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин

U и V, а так же определить их коэффициент корреляции R_UV:

a0	a1	a2	b0	b1	b2	m1	m2	m3	D1	D2	D3	K12	K23	K13
-6	2	6	5	-6	2	1	4	2	1	9	4	1,5	3	1

U= –6+2X­_1­+6X₂;

V=5–6X₂+2X₃;

Величины X₁, X₂ , X₃ имеют следующие числовые характеристики:

m₁=1; m₂=4; m₃=2;

D₁=1; D₂=9; D₃=4;

K₁₂=1,5; K₂₃=3; K₁₃=1;

Решение:

Вычислим математические ожидания U и V:

m_u= –6+2m₁+6m₂ = –6+2*1+6*4 = 20;

m_v= 5–6m₂ + 2m₃=5–6*4+2*2 =-15;

Вычислим дисперсии D_U и D_V:

D_u=2² D₁+36 D₂+2*2*6*K₁₂=4*1+36*9+2*2*6*1,5=364;

D_v=(-6)² D₂+2² D₃+2*(-6)*2* K₂₃=36*9+4*4+2*(-6)*2*3=268;

Рассчитаем корреляционный момент K_UV по формуле:

K_UV= M[UV] − m_Um_V;

M[UV]=M[(–6+2X­_1­+6X₂)( 5–6X₂+2X₃)]=

=M[–30+36X₂-12X₃+10X₁-12X₁X₂+4X₁X₃+30X₂-36X₂X₂ +12 X₂X₃]=

= –30+36m₂–12m₃+10m₁-12M[X₁X₂]+ 4M[X₁X₃]+30m₂ - 36M[X₂X₂]+ +12 M[X₂X₃]= –30+36m₂–12m₃+10m₁-12(m₁m₂+K₁₂)+ 4(m₁m₃+K₁₃) +30m₂ - 36M(m₂²+D₂)+ 12(m₂m₃+K₂₃) = –30+36*4–12*2+10*1–12(1*2+1,5)+ 4(1*2+1)+ 30*4-36(4²+9)+12(4*2+3) = –578.

Таким образом

K_UV= –578 –(20*(-15))= –278;

Определяем величину R_UV:

Ответ: m_u =20; m_v =-15;

D_u =364; D_v =268;

K_UV =–278; R_UV =-0,89008;

Задача 10.4

По выборке одномерной случайной величины:

Одномерная выборка № 4:

4,96 0,95 0,94 3,08 0,06 0,11 0,09 4,79 7,04 0,14 0,83 1,52 5,11 1,94 0,28 3,03 2,10

5,64 0,17 0,94 6,44 2,42 3,30 0,88 14,72 0,56 7,78 1,32 0,10 3,23 0,41 0,27 2,51 2,88

16,86 4,89 0,56 0,41 3,68 2,42 3,61 2,69 0,82 0,89 6,85 2,40 0,36 1,85 0,75 0,32 2,60

1,51 0,61 0,13 0,68 0,51 0,42 1,03 1,99 3,04 2,02 1,80 1,43 0,02 3,02 3,85 2,16 4,33 1,11

6,92 3,32 6,07 2,33 7,35 3,63 3,29 4,01 0,50 3,89 3,55 4,38 2,20 3,72 0,70 3,42 0,19 7,76

0,11 1,48 1,13 4,88 0,05 0,49 1,11 1,93 2,59 6,88 1,27 2,85 1,76

- получить вариационный ряд;

- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график

эмпирической функции распределения F*(x);

- построить гистограмму равноинтервальным способом;

- построить гистограмму равновероятностным способом;

- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии

(γ = 0,95);

- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и

проверить ее при помощи критерия согласия χ2 и критерия Колмогорова (α=0,05). График гипотетической функции распределения F₀(x) построить

совместно с графиком F*(x) в той же системе координат и на том же листе.