15. Преобразование Фурье прямоугольного сигнала.

Определим прямоугольную функцию

и найдем ее Фурье-образ. Функция четная, поэтому достаточно вычислить ее косинус-преобразование.

Фунгция часто встречается в физических приложениях, она получила специальное обозначение sinc t.

График этой функции

Можно выразить Фурье-образ прямоугольной функции через функцию sinc t.

Рассмотрим специальный случай прямоугольного импульса при a=1/ε . Найдем его Фурье-образ :

Если ε 0, то эта функция стремится к . То есть получено, что преобразование Фурье от прямоугольной функции равно

16. Свойства преобразования Фурье.

1. Линейность F(a·f(t) + b·g(t)) = a·F(f(t)) + b·F(g(t)).

2. Свойство сдвига по времени: для постоянной τ

3. Свойство сдвига по частоте: для постоянной Z₀

4. Масштабирование (а # 0)

5. Преобразование производной

6. Преобразование интеграла

Доказательство:

4. Докажем заменой переменных. При а > 0 замена u = at

При а < 0 та же замена u = at, при этом пределы интегрирования меняются на противоположные. Обратная замена пределов дает знак «минус». Так получается свойство для общего случая.

17. Понятие динамической системы. Оператор свертки.

динамическая система – это система, описываемая конечным набором входных и выходных параметров, которые определены на некотором интервале времени. Простейшая динамическая система имеет один входным и один выходным параметр и состоит из одного элемента. Зависимость выходного параметра от входного y(t) = F[x(t)], где y(t) – выходной параметр, x(t) - входной параметр, F - некоторое преобразование функции x(t) в функцию y(t). F может выражать зависимость в виде решения дифференциального уравнения. Одним из видов зависимости функций является уравнение свертки

Функция h(t) называется ядром свертки. Свертка широко применяется в теории сигналов, в частности, для моделирования фильтров.

18. Задача идентификации системы.

Одной из основных задач в динамических системах является задача идентификации системы.

Предполагается, что исследователь может подать на вход объекта любой сигнал x(t) и наблюдать на выходе получающийся сигнал y(t).

Идентификацией системы с параметрами x(t) и y(t) называется построение оператора F, такого, что y(t) = F[x(t)].

Процесс идентификация состоит из двух этапов:

1) выбор математической модели системы;

2) оценивание параметров выбранной модели.

19.Идентификация системы импульсным методом.

Импульсный метод дает идентификацию объекта с моделью в виде уравнения свертки.

Рассмотрим идентификацию на примере прямоугольно импульса:

причем aε = 1 (a>0, ε>0).

Определенный интеграл от прямоугольного импульса по всей оси времени для любого ε > 0 равен 1:

Кроме того, в пределе при ε→∞ получаем

Тогда подынтегральная функция выражения

отлична от нуля только для значений аргумента -ε/2 < τ – t < ε/2, то есть при t - ε/2 < τ < t + ε/2 .

По определению интеграла последнее выражение равно разности первообразных от функции h(t):

a(H(t + ε/2) - H(t - ε/2)) = (где a=1/ε) (H(t + ε/2) - H(t - ε/2))/ε .

Последнее отношение – это производная от H(t) в точке t, то есть значение h(t).

Таким образом, мы показали, что для любой точки t₀ из отрезка [0, M] (вне этого отрезка h(t)=0 ) выполняется равенство

Приближенное равенство верно для малых ε.