ОТУиС. Ответы на все вопросы (.pdf)

1. Модели объекта, математические модели.

Моделью называется описание, изображение изучаемого объекта, явления, процесса (далее просто объекта) некоторым способом с целью его изучения.

Иногда моделью называют упрощенную копию объекта.

Если объект описан простым разговорным языком, без описания технических деталей и взаимосвязей, то такая модель называ-

ется вербальной.

Если построена физическая копия объекта, то такая модель на-

зывается натурной.

Если заданы графики взаимосвязей параметров объекта, то такая

модель называется графической.

Если объект описан формальными математическими соотношениями (описаны взаимосвязи параметров), то это математиче-

ская модель объекта.

Математическая модель может иметь конкретное названия в зависимости от применяемого аппарата. Например, модель в виде дифференциального уравнения, стохастическая модель.

2. Моделирование электрических цепей.

Модель RC-цепи.

Построить зависимость величины напряжения на выходе RC-цепи y(t) в зависимости от напряжения источника питания x(t).

Для решения задачи необходимы знания предметной области. Если исследователь не имеет таких знаний, то требуется привлечение соответствующего специалиста. В данной задаче необходимо знание закона Ома и формулу заряда конденсатора.

Решение. Параметрами модели будут входящие в схему величины R и C. Пусть в момент времени t по сопротивлению R проходит ток i(t), а количество электричества на конденсаторе C равно Q(t). Тогда напряжение на сопротивлении равно R * i(t) (закон Ома), а на конденсаторе y(t) = Q(t)/C . Тогда напряжение на ге-

Кроме того, i(t) = dQ(t)/dt = d(y(t)*C)/dt = C * y’(t).

Отсюда и из (1) получаем окончательное соотношение в виде дифференциального уравнения:

x(t) = С*R * y’(t) + y(t).

3. Сложный объект, его компоненты. Системотехника.

В реальной жизни исследуемый объект состоит из множества связанных между собой объектов, процессов, явлений, объединенных единой целью. Такой сложный объект будем называть системой, а его части назовем компонентами. При первом рассмотрении можно рассматривать систему как простой объект, не принимая во внимание наличие компонент.

При анализе системы обычно не строится общая модель системы

– это трудно, а также трудно анализировать такую модель.

Строятся отдельные модели ее компонент и учитываются существенные взаимосвязи между компонентами. Такой подход в моделировании называется декомпозицией.

Построение общей модели системы без декомпозиции практически невозможно: компоненты системы разнородны и их трудно описать в рамках одной математической теории.

Системотехника - прикладная наука, исследующая задачи

1)анализа сложных управляющих систем;

2)создания сложных управляющих систем.

4. Норма сигнала. Расстояние между сигналами. Скалярное произведение сигналов.

Нормой сигнала x(t) называется вещественное число

Расстояние между сигналами x(t) и y(t), заданными на

, измеряется как r( x(t), y(t)) y(t) x(t)

Скалярным произведением сигналов x(t) и y(t) называется определенный интеграл

где s(t) – некоторая весовая функция..

Норма сигнала x(t) – это корень квадратный из скалярного произведения сигнала с самим собой

5. Ортогональная система функций. Разложение сигнала в ортогональный ряд.

Сигналы x(t) и y(t) называются ортогональными, если их ска-

лярное произведение равно нулю.

b

x, y x(t ) y(t)s(t)dt 0

a

Система линейно независимых функций {f0(t), f1(t), ..., fk(t), ...}, заданных на некотором отрезке [a, b] называется ортогональной системой функций, если все они попарно ортогональны на этом отрезке.

Если все функции системы имеют норму 1, то система называет-

ся ортонормированной.

Пример ортогональной системы функций : функции cos (kωt), k=0,1,... ортогональны на отрезке [-π/ω, π/ω], но система не ортонормирована.

Разложение сигнала в ортогональный ряд:задача состоит в том, чтобы найти коэффициенты разложения функции y(x) в ряд:

на интервале [a, b]

Функции Pk(x) называются базисными функциями разложе-

ния. Требуется найти коэффициенты разложения Ak. Для того, чтобы найти Ak0 для конкретного k0, умножим обе части равенства на Pk0(x)и наs(x) и на интервале ортогональности [a, b]проинтегрируем по x.

В предположении, что ряд сходится абсолютно и интегралы существуют, меняем порядок интегрирования

Ввиду ортогональности базисных функций Pk(x) все интегралы в правой части, кроме слагаемого с индексом k0, обращаются в нули. Получаем:

Поскольку , то

Записывая для простоты результат с индексом k, получаем формулу

6. Ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита.

Многочлены Pk(t) (k = 0, 1, 2,… – степень многочлена) образуют

ортогональную систему многочленов на отрезке[a,b] с весом

Существует рекуррентная формула, из которой, зная первые 2

многочлена, можно вычислить все остальные

ak Pk 1 (t) (ck bk t)Pk (t) dk Pk 1 (t)

Первые 2 многочлена:

1. Лежандра

2.Чебышева

Константы для многочленов

Интервалы, на которых определены многочлены:

1.Лежандра [-1, +1]

2.Чебышева [-1, +1]

3.Лагерра [0, +∞ )

4.Эрмита (-∞, +∞)

Весовые функции многочленов:

1.Лежандра

2.Чебышева

3.Лагерра

4.Эрмита

7. Методы использования широкополосного диапазона в протоколе WiFi. Технология OFDM.

Методы использования широкополосного диапазона в протоколе

WiFi:

1.метод ортогонального мультиплексирования OFDM;

2.методпрямойпоследовательностиDSSS;

3.метод скачкообразной перестройки частоты FHSS.

Модуляция OFDM позволяет увеличить скорость передачи и информационную емкость канала передачи, разделяя широкий канал, занимаемый одной модулированной несущей, на множе-

ство близко расположенных узкополосных каналов, занимае-

мых несущими, каждая из которых использует разную частоту. Но соседние несущие расположены близко друг к другу, они смешиваются и создают взаимные помехи. Несущие разделяются методом ортогонализации, они образуют ортогональную систему сигналов.

Ниже я переводил с английского, так что не пинайте, если окажется не совсем правильно

1.Центры несущих ложатся на ортагональные частоты

2.ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ – пики каждого сигнала совпадают с нулями других сигналов

3.Поднессущие разделены на 1/Ts

Wi-Fi использует схему OFDM с 64 несущими, за счет чего суммарный объем передаваемых данных резко увеличивается. Несущие ортогональны, поэтому из суммарного смешанного сигнала можно выделить несущую С, вычисляя скалярное произведение С на суммарный сигнал.

8. Базисные функции Фурье, их ортогональность.

В основе ряда Фурье лежат тригонометрические ортогональные функции Fk Ak cos(k t) Bk sin(k t)

Это базисные функции ряда Фурье.

Ортогональность базисных функций разложения означает, что

9. Построение формул для коэффициентов ряда Фурье.

Коэффициенты Ak, Bk ряда Фурье вычисляются с применением свойства ортогональности базисных функций. Общий вид разложения

x(t) Akcos kωt + Bksin kωt.

k =0

Коэффициенты:

Если разложение в ряд Фурье функции x(t)записать в виде

То формула для Akсправедлива и для k=0. Таким образом, для k=0,1,2,…

T

При разложении нечетной-T/2 функции коэффициенты ряда Фурье при базисных функциях cos(·) равны нулю, то есть разложение разложения нечетной функции не содержит базисных функций cos(·)При разложения четной функции ряд Фурье не содержит базисных функций sin(·).

10. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение сигнала в ряд Фурье на отрезке.

Ряд Фурье для нечетной функции:

Эта функция разлагается в

ряд синусов, T=2, ω=π (здесь до k = 4).

Ряд Фурье разложения нечетной функции не содержат базисных функций cos(·)

При разложения четной функции ряд Фурье не содержат базисных функций sin(·)

Разложим x(t) = t2 на отрезке [-1, 1], то есть T=2. Функция четная, поэтому ряд содержит только cos(·).

11. Временная и частотная области сигнала.

Сигнал моделируется в виде функции x(t), зависящей от времени t. Говорят, что сигнал моделируется во временной области. При разложении в ряд Фурье с периодом T сигнал представляется в виде ряда от sin(·) и cos(·) от аргументов ω, 2ω, 3ω, . . ., где частота ω = 2π/T. Таким образом, сигнал разлагается по функциям с аргументами, содержащими частоты kω. Коэффициенты Ак и Вк называются частотными коэффициентами. Такое представление сигнала называется представлением в частотной области.

12. Комплексная форма ряда Фурье.

Формула Эйлера

sin k t 12 i e ik t eik t

Ряд Фурье принимает вид

Введем новые обозначения

где Ck и C-k комплексные числа. Запишем ряд Фурье в комплексной форме:

13. Прямое и обратное преобразование Фурье

Интегральное преобразование

Называется прямым преобразованием Фурье

Интегральное преобразование

Называется обратным преобразованием Фурье

Функция X(z) называется Фурье-образом функции x(t), а функция x(t) называется Фурье-прообразом функции X(z).

14. Синус и косинус преобразования, их связь с преобразованием Фурье.

Для некоторых вещественных функций x(t) их Фурье-образ X(z)

– тоже вещественная функция.

Представим cos z(t-u) как косинус суммы и получим

Второй интеграл по dz равен нулю как интеграл по симметричному отрезку от нечетной функции, поэтому

Они называются соответственно прямым и обратным косинуспреобразованием. Косинус-преобразования переводят вещественную функцию в вещественную.

Аналогично из формулы

получаем прямое и обратное синус-преобразование

Преобразование Фурье произвольной функции x(t) можно представить как сумму ее косинус и синус-преобразований:

Если функция x(t) четная, то ее преобразование Фурье равно косинус-преобразованию ( синус-преобразование такой функции равно нулю).

Если функция x(t) нечетная, то ее преобразование Фурье равно синус-преобразованию, умноженному на мнимую единицу ( косинус-преобразование равно нулю).

15. Преобразование Фурье прямоугольного сигнала.

Определим прямоугольную функцию

и найдем ее Фурье-образ. Функция четная, поэтому достаточно вычислить ее косинус-преобразование.

прямоугольного импульса при a=1/ε . Найдем его Фурье-образ :

чено, что преобразование Фурье от прямоугольной функции

16. Свойства преобразования Фурье.

1.Линейность F(a·f(t) + b·g(t)) = a·F(f(t)) + b·F(g(t)).

2.Свойство сдвига по времени: для постоянной η

3.Свойство сдвига по частоте: для постоянной Z0

Доказательство:

4. Докажем заменой переменных. При а > 0 замена u = at

При а < 0 та же замена u = at, при этом пределы интегрирования меняются на противоположные. Обратная замена пределов дает знак «минус». Так получается свойство для общего случая.

17. Понятие динамической системы. Оператор свертки.

динамическая система – это система, описываемая конечным набором входных и выходных параметров, которые определены на некотором интервале времени. Простейшая динамическая система имеет один входным и один выходным параметр и состоит из одного элемента. Зависимость выходного параметра от входного y(t) = F[x(t)], где y(t) – выходной параметр, x(t) - входной параметр, F - некоторое преобразование функции x(t) в функцию y(t). F может выражать зависимость в виде решения

дифференциального уравнения. Одним из видов зависимости

функций является уравнение свертки

y(t) h( )x(t )d

Функция h(t) называется ядром свертки. Свертка широко применяется в теории сигналов, в частности, для моделирования фильтров.

18. Задача идентификации системы.

Одной из основных задач в динамических системах является задача идентификации системы.

Предполагается, что исследователь может подать на вход объекта любой сигнал x(t) и наблюдать на выходе получающийся сиг-

нал y(t).

Идентификацией системы с параметрами x(t) и y(t) называется построение оператора F, такого, что y(t) = F[x(t)].

Процесс идентификация состоит из двух этапов:

1)выбор математической модели системы;

2)оценивание параметров выбранной модели.

19.Идентификация системы импульсным методом.

Импульсный метод дает идентификацию объекта с моделью в виде уравнения свертки.

Рассмотрим идентификацию на примере прямоугольно импуль-

причем aε = 1 (a>0, ε>0).

Определенный интеграл от прямоугольного импульса по всей

оси времени для любого ε > 0 равен 1:

x (t) dt 1,

Кроме того, в пределе при ε→∞ получаем

Тогда подынтегральная функция выражения

отлична от нуля только для значений аргумента -ε/2 < τ – t < ε/2,

то есть при t - ε/2 < τ < t + ε/2 .

По определению интеграла последнее выражение равно разности первообразных от функции h(t):

a(H(t + ε/2) - H(t - ε/2)) = (где a=1/ε) (H(t + ε/2) - H(t - ε/2))/ε .

Последнее отношение – это производная от H(t) в точке t, то есть значение h(t).

Таким образом, мы показали, что для любой точки t0 из отрезка [0, M] (вне этого отрезка h(t)=0 ) выполняется равенство

Приближенное равенство верно для малых ε.

20. Функция Дирака. Функция Хевисайда, еѐ производная.

Функция Дирака, она же дельта функция δ(x):

δ(x) не является функцией в обычном смысле.

Функция Хевисайда, она же функция единич-

ного скачка

Ее график:

Производная функции Хевисайда существует и равна нулю во всех точках, кроме x=0. В этой точке предел отношения приращения функции и приращению аргумента уходит на бесконечность. Если построить последовательность кусочно-линейных функций вида,

то наклонные отрезки графиков выражаются в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку А:

y 12 a( x 0), то есть y( x) ax 1/ 2

Если положить а = 1, 2, …, ∞, то кусочно-линейная функция на

тельность производных, совпадающих с прямоугольными функциями, при а ∞ они стремятся к δ-функции. То есть : d1( x) ( x)

dx

21. Свойства ф-ции Дирака.

Положим t=0 и получим требуемое свойство.

22. Преобразование Фурье функции Дирака. Обратное преобразование Фурье от постоянной.

К дельта-функции можно применить преобразование Фурье:

в результате получается, что спектр (фурье-образ) δ-функции является просто константой:

То есть,

23. Коммутативность оператора свертки. Преобразование Фурье свертки.

В общем случае сверткой двух функций f(t) и g(t) называется

интегральное преобразование. f ( )g(t )d

Операция свертки двух функций обозначается f(t) *g(t) или просто f *g . Если выполнить замену переменных γ = t – τ, то dγ = –

g( ) f (t )d

То есть, f *g = g *f – операция свертки коммутативна.

Применим преобразование Фурье к свертке сигналов,

в результате получим равенство: F( f * g) 2 F(z)G(z)

То есть, применение преобразования Фурье к свертке сигналов дает произведение Фурье-образов сигналов с коэффициентом 2

24. Обратное преобразование Фурье свертки сигналов.

Для обратного преобразования Фурье от свертки функций

Если к обеим частям полученного равенства применить прямое преобразование Фурье, то получим формулу для преобразования произведения сигналов

25. Преобразование Фурье функции единичного скачка.

Производная функции 1(t) равна δ(t),тогда интеграл от δ(t) равен

26. Преобразование Фурье тригонометрических функций.

Для некоторых вещественных функций x(t) их Фурье-образ X(z)

– тоже вещественная функция. При выводе преобразования Фурье применялся интеграл Фурье.

Они называются соответственно прямым и обратным косинуспреобразованием. Косинус-преобразования переводят вещественную функцию в вещественную.

Аналогично из формулы

получаем прямое и обратное синус-преобразование

27. Равенство Парсеваля.

Равенство Парсеваля (теорема Планшереля) – один из основ-

ных инструментов, составляющих методы анализ сигнала. Позволяет оценить энергию сигнала во временном и частотном представлении.

Энергия сигнала (это мощность, работа, которую сигнал может совершить).

Пусть сигнал во временном представлении выражает зависимость напряжения от времени x(t). Если ток, генерирующий сигнал, проходит по проводнику с сопротивлением R, то сила тока i(t) = x(t)/R, и тогда мощность электрического тока

w(t) = x(t)· i(t) = x(t)2/R.

Следовательно, мощность сигнала пропорциональна величине x(t)2 , а если R=1, то равна этой величине. Тогда, по определению, работа, которую совершает электрический ток, или которую он может совершить (энергия), пропорциональна (в исключительных случаях равна)

В общем случае, когда x(t) – комплексное выражение,

где - комплексное сопряженное к

28. Оценка энергии, потребляемой сигналом. Интервалы частот потребления энергии.

Преобразование Фурье позволяет установить соответствие между энергией сигнала во временной и частотной областях.

????????????

29. Приложение преобразования Фурье в технике.

Тогда энергия, вычисленная в частотной области

То есть, действительно, энергия, вычисленная в частотной области совпадает с энергией вычисленной во временной области

30. Функция распределения дискретной случайной величины.

Если обозначить через X(ω) случайную величину, определенную на пространстве Ω, то функция распределения FX(x) определяется как функция плотности распределения pX(x) как если производная существует. Если ввести в рассмотрение обобщенные функции, в частности δ-

функцию и функцию Хевисайда, то функции плотности рас-

пределения существуют и для дискретных случайных величин

(с.в.).

31. Преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа преобразует дифференциальное уравнение в алгебраическое. Затем решение алгебраического уравнения может быть преобразовано в решение дифференциального при помощи обратного преобразования Лапласа.

Преобразованием Лапласа F(s) функции f(t), определенной для t

≥ 0, называется интегральное преобразование:

F (s) L( f ) e st f (t) dt

0

Переменная s комплексная, переменная t тоже может быть комплексной.

Преобразование Лапласа – это оператор L[·] от функции f(t), точнее, это интегральный оператор от f(t).

32. Преобразование Лапласа функции Хевисайда, экспоненты.

Преобразование Лапласа функции Хевисайда, пример 1.

При Re s > 0 этот несобственный интеграл сходится и равен -1/s, при Re s ≤ 0 интеграл не существует (интеграл расходится).

Преобразование Лапласа функции Хевисайда, пример 2.

1(x-a) при a>0.

Если Re s > 0, то интеграл сходится и

Преобразование Лапласа экспоненты.

При Re (a-s) < 0 интеграл сходится.

33. Преобразование Лапласа тригонометрической функции.

34. Свойства преобразования Лапласа.

1.Линейность: L(a·f(t) + b·g(t)) = a·L(f(t)) + b·L(g(t)).

2.Свойство сдвига: если Re (s-a) > 0 и L(f) = F, то

L(eat f(t)) = F(s-a).

3. Преобразование производной: если Re s >0, то

L(f′) = sL(f) – f(0).

4. Преобразование интеграла: если функция f(t) ограничена экспонентой: f (t) Me дляt некоторого вещественного α>0, то

Доказательство интегрального свойства (свойство 4)

s 0(иначе интеграл расходится и преобразования Лапласа не существует) поэтому

M lim e ( s )T 1e sT 0

T

35. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений.

x(t) = С*R * y′(t) + y(t)

Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения. По свойству линейности получаем:

L(x(t)) = СR L(y′(t)) + L(y(t))

По свойству 3 (преобразование производной) :

L(x) = СR (sL(y)-y(0)) + L(y), пусть y(0) = k.

Отсюда L(x) = L(y)(1+CRs) – CRk

То есть

Если задана функция x(t), то это выражение дает решение исходного дифференциального уравнения (но это Лаплас–образ решения!).

Преобразование Лапласа дифференциального уравнения привело к простому алгебраическому уравнению. Теперь нужно вернуться к исходной переменной t, то есть требуется провести обратное преобразование.

Пусть CR=1, x(t) = cos t, k=y(0) = 0. Тогда

Применяя таблицу преобразования Лапласа, получаем

36. Понятие обратного преобразования Лапласа.

Преобразования Лапласа содержит интеграл с пределами интегрирования от 0 до +∞. Будем предполагать, что для t < 0 функ-

ция f(t) = 0.

Обратным преобразованием Лапласа функции F(s) называется интегральное преобразование

где путь интегрирования идет вдоль прямой линии

L(eat f(t)) = F(s-a).

C:Re s = c, c = const

Существуют 2 способа вычисления обратного преобразования Лапласа :

1)вычислять интеграл по прямой линии, лежащей на комплексной плоскости;

2)вычислять интеграл как обратный от Лаплас-образа по таблице преобразования Лапласа

37. Преобразование Лапласа от свертки сигналов.

L{ f (t) g(t)} F(s)G(s)

F (s)G(s)

Обратное преобразование от произведения функций равно свертке их прообразов :

L-1(F(s) G(s)) = f(t)*g(t)

38. Преобразования Лапласа от произведения сигналов.

39. Дискретный сигнал. Уравнение в конечных разностях.

Дискретный сигнал - информационный сигнал, который представляется в виде отдельных отсчетов, взятых по времени, но, в отличие от цифрового сигнала, не обязательно квантованных по уровню. Сигнал называется дискретным, если он может принимать лишь конечное число значений.

Уравнение в конечных разностях.

Для дискретных сигналов выходной сигнал y в момент времени n можно задавать в зависимости от значений входного сигнала x в предыдущие моменты времени, включая и значение x в этот момент n, а также выходной сигнал y может зависеть от своих значений в предыдущие моменты времени.

Принято обозначать текущий дискретный момент времени через

индекс 0, а предыдущие моменты индексами -1, -2, -3, …. Тогда y0 b 1 y 1 b 2 y 2 ... b k y k a0 x0 a 1 x 1 ... a m x m

Здесь a и b – числовые коэффициенты.

По таким уравнениям нетрудно построить аппаратную реализацию объекта, но трудно получить выражение для выходного сигнала в явном виде

40. z-преобразование.

z-преобразованием F(z) дискретного сигнала f(n) называется ряд

Z( f (n)) F (z)

... f ( 2)z2 f ( 1)z1 f (0)z0 f (1)z 1 f (2)z 2 ...

f (n)z n

n

В общем случае z – комплексная переменная.

41. z-преобразование функции Хевисайда и экспонент.

z-преобразование функции Хевисайда:

1, если n 0, 1(n)

0, иначе.

График этой функции

если Re z > 1. Если Re z ≤ 1, z-преобразования для 1(n) не существует.

z-преобразование экспоненты:

1(n)e an, а > 0.

Z(e an ) e 0a z0 e 1a z 1 e 2a z 2 ...

42. z-преобразование тригонометрических функций. cos( n)1(n)

Представим косинус в комплексной форме (формула Эйлера) и

воспользуемся преобразованием экспонент. cos( n) 12 ei n e i n ,