8. Базисные функции Фурье, их ортогональность.

В основе ряда Фурье лежат тригонометрические ортогональные функции

Это базисные функции ряда Фурье.

Ортогональность базисных функций разложения означает, что

9. Построение формул для коэффициентов ряда Фурье.

Коэффициенты Ak, Bk ряда Фурье вычисляются с применением свойства ортогональности базисных функций. Общий вид разложения

Коэффициенты:

Если разложение в ряд Фурье функции x(t)записать в виде

То формула для A_kсправедлива и для k=0. Таким образом, для k=0,1,2,…

для k=1,2,…

При разложении нечетной функции коэффициенты ряда Фурье при базисных функциях cos(·) равны нулю, то есть разложение разложения нечетной функции не содержит базисных функций cos(·)При разложения четной функции ряд Фурье не содержит базисных функций sin(·).

10. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение сигнала в ряд Фурье на отрезке.

Ряд Фурье для нечетной функции:

Эта функция разлагается в

ряд синусов, T=2, ω=π (здесь до k = 4).

Ряд Фурье разложения нечетной функции не содержат базисных функций cos(·)

При разложения четной функции ряд Фурье не содержат базисных функций sin(·)

Разложим x(t) = t² на отрезке [-1, 1], то есть T=2. Функция четная, поэтому ряд содержит только cos(·).

11. Временная и частотная области сигнала.

Сигнал моделируется в виде функции x(t), зависящей от времени t. Говорят, что сигнал моделируется во временной области. При разложении в ряд Фурье с периодом T сигнал представляется в виде ряда от sin(·) и cos(·) от аргументов ω, 2ω, 3ω, . . ., где частота ω = 2π/T. Таким образом, сигнал разлагается по функциям с аргументами, содержащими частоты kω. Коэффициенты Ак и Вк называются частотными коэффициентами. Такое представление сигнала называется представлением в частотной области.

12. Комплексная форма ряда Фурье.

Формула Эйлера

Ряд Фурье принимает вид

Введем новые обозначения

где Ck и C-k комплексные числа. Запишем ряд Фурье в комплексной форме:

13. Прямое и обратное преобразование Фурье

Интегральное преобразование

Называется прямым преобразованием Фурье

Интегральное преобразование

Называется обратным преобразованием Фурье

Функция X(z) называется Фурье-образом функции x(t), а функция x(t) называется Фурье-прообразом функции X(z).

14. Синус и косинус преобразования, их связь с преобразованием Фурье.

Для некоторых вещественных функций x(t) их Фурье-образ X(z) – тоже вещественная функция.

Представим cos z(t-u) как косинус суммы и получим

Второй интеграл по dz равен нулю как интеграл по симметричному отрезку от нечетной функции, поэтому

Они называются соответственно прямым и обратным косинус-преобразованием. Косинус-преобразования переводят вещественную функцию в вещественную.

Аналогично из формулы

получаем прямое и обратное синус-преобразование

Синус-преобразования переводят вещественную функцию в вещественную.

Преобразование Фурье произвольной функции x(t) можно представить как сумму ее косинус и синус-преобразований:

Если функция x(t) четная, то ее преобразование Фурье равно косинус-преобразованию ( синус-преобразование такой функции равно нулю).

Если функция x(t) нечетная, то ее преобразование Фурье равно синус-преобразованию, умноженному на мнимую единицу ( косинус-преобразование равно нулю).