5. Ортогональная система функций. Разложение сигнала в ортогональный ряд.

Сигналы x(t) и y(t) называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Система линейно независимых функций {f₀(t), f₁(t), ..., f_k(t), ...}, заданных на некотором отрезке [a, b] называется ортогональной системой функций, если все они попарно ортогональны на этом отрезке.

Если все функции системы имеют норму 1, то система называется ортонормированной.

Пример ортогональной системы функций : функции cos (kωt), k=0,1,... ортогональны на отрезке [-π/ω, π/ω], но система не ортонормирована.

Разложение сигнала в ортогональный ряд:задача состоит в том, чтобы найти коэффициенты разложения функции y(x) в ряд:

на интервале [a, b]

Функции P_k(x) называются базисными функциями разложения. Требуется найти коэффициенты разложения A_k. Для того, чтобы найти A_k0 для конкретного k0, умножим обе части равенства на P_k0(x)и наs(x) и на интервале ортогональности [a, b]проинтегрируем по x.

В предположении, что ряд сходится абсолютно и интегралы существуют, меняем порядок интегрирования

Ввиду ортогональности базисных функций Pk(x) все интегралы в правой части, кроме слагаемого с индексом k0, обращаются в нули. Получаем:

Поскольку , то

Записывая для простоты результат с индексом k, получаем формулу Последнее отношение – это производная от H(t) в точке t, то есть значение h(t).

6. Ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита.

Многочлены P_k(t) (k = 0, 1, 2,… – степень многочлена) образуют ортогональную систему многочленов на отрезке[a,b] с весом s(t), если ,где - символ Кронекера.

Существует рекуррентная формула, из которой, зная первые 2 многочлена, можно вычислить все остальные

Первые 2 многочлена:

1. Лежандра

2. Чебышева

3. Лагерра

4. Эрмита

Константы для многочленов

Многочлен	a k	b k	c k	dk	Nn
Лежандр	k+1	2k+1	0	k
Чебышев	1	2	0	1
Лагерр	1	1	2k+1	k2	n!
Эрмит	1	2	0	2k

Интервалы, на которых определены многочлены:

1. Лежандра [-1, +1]

2. Чебышева [-1, +1]

3. Лагерра [0, +∞ )

4. Эрмита (-∞, +∞)

Весовые функции многочленов:

1. Лежандра

2. Чебышева

3. Лагерра

4. Эрмита

7. Методы использования широкополосного диапазона в протоколе WiFi. Технология ofdm.

Методы использования широкополосного диапазона в протоколе WiFi:

1. метод ортогонального мультиплексирования OFDM;

2. методпрямойпоследовательностиDSSS;

3. метод скачкообразной перестройки частоты FHSS.

Модуляция OFDM позволяет увеличить скорость передачи и информационную емкость канала передачи, разделяя широкий канал, занимаемый одной модулированной несущей, на множество близко расположенных узкополосных каналов, занимаемых несущими, каждая из которых использует разную частоту. Но соседние несущие расположены близко друг к другу, они смешиваются и создают взаимные помехи. Несущие разделяются методом ортогонализации, они образуют ортогональную систему сигналов.

Ниже я переводил с английского, так что не пинайте, если окажется не совсем правильно

1. Центры несущих ложатся на ортагональные частоты

2. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ – пики каждого сигнала совпадают с нулями других сигналов

3. Поднессущие разделены на 1/Ts

Wi-Fi использует схему OFDM с 64 несущими, за счет чего суммарный объем передаваемых данных резко увеличивается. Несущие ортогональны, поэтому из суммарного смешанного сигнала можно выделить несущую С, вычисляя скалярное произведение С на суммарный сигнал.