Лабы (механика) / Лабы / 1-3 / FIZ-1-3

НГТУ

Лабораторная работа №1-3

"Определение момента

инерции твердых тел"

Выолнил 98-В-2

Корепов А.В.

Принял:

г.Н.Новгород.

1998г.

Цель работы: Экспериментальное определение момента инерции диска, цилиндра, кольца и параллелепипеда относительно главных осей инерции этих твердых тел; исследование зависимости момента инерции от распределения массы тела относительно оси вращения; экспериментальная проверка теоремы Штейнера.

Экспериментальная часть

Рис. 1

В нашей работе момент инерции тела определяется при помощи трифилярного повеса (рис. 1), который представляет собой круглую платформу, подвешенную на трех симметрично расположенных проволоках, укрепленных у краев платформы. Наверху эти проволоки также симметрично прикреплены к трем точкам треноги, расположенным по окружности меньшего радиуса. Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей крез ее середину: центр тяжести платформы при этом перемещается по оси вращения. Период колебаний определяется моментом инерции платформы. Он будет другим, если платформу нагрузить каким-либо телом. Этим и пользуются в данной работе.

Если платформа массы m, вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h, то ее потенциальная энергия в крайнем положении

П = mgh ,

где g - ускорение свободного падения тела.

Вращаясь в другом направлении, платформа придет в положение равновесия с кинетической энергией

,

Где I - момент инерции платформы;

- угловая скорость платформы в момент достижения ею положения равновесия.

Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем:

Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можно написать зависимость угла поворота платформы от времени:

, где:

- мгновенное значение угла поворота платформы

- амплитудное значение угла поворота

Т - период полного колебания

t - время

Угловая скорость является первой производной от угла поворота по времени:

.

В момент прохождения через положение равновесия абсолютное значение угловой скорости будет максимальным:

Подставляя это значение в уравнение (2) получим:

.

Чтобы найти момент инерции I платформы из этого соотношения, выразим высоту подъема платформы h через известные величины.

При повороте платформы на угол центр тяжести ее переместится из точки О в точку О₁ (рис. 2), причем

Так как

и ,

получим:

Рис. 2

В

r

При малых углах поворота (а только в этих случаях колебания можно считать гармоническими) можно положить, что , а сумма .

Учитывая это, получаем , где R - расстояние от оси платформы до точек закрепления проволок на платформе; r - расстояние от оси платформы до точек закрепления проволок на треноге; l - длина проволок подвеса.

Подставляя значение h, получим:

О₁

C

C₁

, откуда .

А

R

A₁

О

По этой формуле может быть определен момент инерции платформы и тела, положенного на нее, так как все величины в правой части могут быть непосредственно измерены. В случае нагруженной платформы массу m берут равной сумме масс платформы и тела. Вычисленный момент инерции системы I_сист складывается из момента инерции пустой платформы и тела:

I_сист = I₀+I_T , где I₀ - момент инерции платформы, IT - момент инерции тела.

Отсюда получаем: I_T = I_сист - I₀

Определение моментов инерции тел опытным путем

Имеем:

mплатф=0,4±0,005 кг

mпаралл=1,4±0,005 кг

mцилиндра=1,15±0,005 кг

mкольца=0,9±0,005 кг

mдиска=1,1±0,005 кг

R=0,145±0,001 м

r=0,035±0,001 м

l=1,85±0,005 м

Экспериментом измерено:

N=3 - кол-во измерений для каждого тела

n=30 - кол-во полных колебаний

Тело	Измеренное время, с	Параметры тела, м
пустая платформа	155,28 162,93 158,47	R=0,15 h=0,001
цилиндр	92,46 92,79 93,00	R1=0,0325 R2=0,0445 h=0,052
кольцо	120,57 120,22 120,83	R1=0,0615 R2=0,0745 h=0,019
диск	106,56 107,47 107,21	R=0,075 h=0,021
паралл. на торце	100,97 101,53 100,12	a=0,073 b=0,178
паралл. стоя	84,35 83,60 84,12	a=0,073 b=0,102
паралл. лежа	103,47 103,34 103,72	a=0,102 b=0,178

Усредняем результат:

и находим период колебаний:

Тело	<t> ,c	<T> ,c
пустая платформа	158,894	5,297
цилиндр	92,75	3,092
кольцо	120,54	4,018
диск	107,08	3,57
паралл. на торце	100,874	3,363
паралл. стоя	84,024	2,801
паралл. лежа	103,51	3,451

Рассчитываем момент инерции пустой и нагруженной платформы и моменты инерции конкретных тел:

Тело	Iсист , кг м2	Iт , кг м2
пустая платформа		0,007657
цииндр	0,01011	0,002453
кольцо	0,014321	0,006664
диск	0,01304	0,005383
паралл. на торце	0,013887	0,00623
паралл. стоя	0,009635	0,001978
паралл. лежа	0,014622	0,006965

Рассчитываем абсолютную и относительную погрешности измерения:

tp,N=4,3 tp,¥=1,96 d=0,005

Тело	St	Dt, c	et	eT
пуст. платформа	2,223	9,559	0,061	0,0617
цилиндр	0,158	0,68	0.0074	0,0117
кольцо	0,177	0,762	0,0064	0,0111
диск	0,271	1,166	0,0109	0,0142
паралл. на торце	0,411	1,768	0,0176	0,0198
паралл. стоя	0,223	0,959	0,0115	0,0146
паралл. лежа	0,112	0,482	0,0047	0,0102

Тело	eIсист		DIсист , кг м2		DIT , кг м2		eIT		eIT,%
пуст. платф.					0,00098		0,128		12,8
цилиндр	0,0378		0,000382		0,000098		0,038		3,8
кольцо		0,0372		0,000533		0,000249		0,0374	3,74
диск	0,0411		0,000536		0,000212		0,0412		4,12
пар. на торце	0,0495		0,000687		0,000308		0,0495		4,95
пар. стоя	0,0416		0,000401		0,000082		0,0417		4,17
пар. лежа	0,036		0,000526		0,00025		0,036		3,6

получим:

Тело	I±DI , кг м2
пустая платформа	(7,657±0,98)10-3
цилиндр	(2,453±0,098)10-3
кольцо	(6,664±0,249)10-3
диск	(5,383±0,212)10-3
паралл. на торце	(6,23±0,308)10-3
паралл. стоя	(1,978±0,082)10-3
паралл. лежа	(6,965±0,25)10-3

Определение моментов инерции тел теоритическим путем

Параллелепипед:

на торце: Iтеор=0,00432 кг м²

eIтеор=0,00632 eIтеор=0,632 %

DIтеор=0,0000273 кг м²

стоя: Iтеор=0,00184 кг м²

eIтеор=0,00877 eIтеор=0,877 %

DIтеор=0,0000162 кг м²

лежа: Iтеор=0,00491 кг м²

eIтеор=0,00604 eIтеор=0,604 %

DIтеор=0,0000297 кг м²

Цилиндр:

Iтеор=0,00175 кг м²

eIтеор=0,01866 eIтеор=1,866 %

DIтеор=0,0000327 кг м²

кольцо: Iтеор=0,0042 кг м²

eIтеор=0,001175 eIтеор=0,1175 %

DIтеор=0,000058 кг м²

Диск: R1®0

Iтеор=0,0031 кг м²

eIтеор=0,0141 eIтеор=1,41 %

DIтеор=0,00004371 кг м²

Пустая платформа: R1®0

Iтеор=0,0045 кг м²

eIтеор=0,0142 eIтеор=1,42 %

DIтеор=0,0000639 кг м²

Конкретное тело	IT	IT	I,%	ITтеор	ITтеор	I теор, %
пустая. пл.	0,007657	0,00098	12,8	0,0045	0,0000639	1,42	41,23
цилиндр	0,002453	0,000098	3,8	0,00175	0,0000327	1,866	28,66
кольцо	0,006664	0,000249	3,74	0,0042	0,000058	0,1175	36,98
диск	0,005383	0,000212	4,12	0,0031	0,00004371	1,41	42,41
паралл. т.	0,00623	0,000308	4,95	0,00432	0,0000273	0,632	30,66
паралл. с.	0,001978	0,000082	4,17	0,00184	0,0000162	0,877	6,98
паралл. л.	0,006965	0,00025	3,6	0,00491	0,0000297	0,604	29,51