24. Обобщённые координаты и обобщённые силы.

25. Общее уравнение динамики в обобщённых силах. Условие равновесия в обобщённых силах.

26. Уравнение движения системы в обобщённых координатах.

По определению (7) обобщенные силы , k = 1,2,3,…,s, где s – число степеней свободы.

Если система находится в равновесии, то по принципу возможных перемещений (1) . Здесь – перемещения, допускаемые связями, возможные перемещения. Поэтому при равновесии материальной системы все ее обобщенные силы равны нулю:

Q_k = 0, (k=1,2,3,…, s). (10)

Эти уравнения, уравнения равновесия в обобщенных координатах или уравнения равновесия Лагранжа, позволяют решать задачи статики еще одним методом.

Если система консервативная, то . Значит, в положении равновесия . То есть в положении равновесия такой материальной системы ее потенциальная энергия либо максимальна, либо минимальна, т.е. функция П(q) имеет экстремум.

Это очевидно из анализа простейшего примера (рис.11). Потенциальная энергия шарика в положении М₁ имеет минимум, в положении М₂ – максимум. Можно заметить, что в положении М₁ равновесие будет устойчивым; в положении М₂ – неустойчивым.

Рис.11

 

Равновесие считается устойчивым, если телу в этом положении сообщить малую скорость или сместить на малое расстояние и эти отклонения в дальнейшем не увеличатся.

Можно доказать (теорема Лагранжа-Дирихле), что если в положении равновесия консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Для консервативной системы с одной степенью свободы условие минимума потенциальной энергии, а значит и устойчивости положения равновесия, определяется, второй производной, ее значением в положении равновесия,

. (11)

27. Понятие об устойчивости равновесия.

28. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.

29. Элементарная теория удара. Основные уравнения теории удара. Коэффициент восстановления при ударе

30. Общее уравнение теории удара (В Тарге не нашёл)

Пусть дана МТ массы m, которая движется под действием обычной (неударной) силы . В момент , когда рассматриваемая МТ имеет скорость – скорость до удара, на нее начинает действовать ударная сила , действие которой прекращается в момент . Определим движение МТ под действием сил и за время удара .

Применяя теорему об изменении количества движения МТ (1.15), получим:

,

где – скорость точки в момент после удара.

Рассмотрим отдельно каждый член правой части этого равенства. По теореме о среднем значении определенного интеграла можно написать:

,

где и есть средние значения сил и в некоторый промежуток времени. При этом является конечной величиной; ударная сила за время удара достигает весьма большой величины (порядка ). Поэтому произведение будет пренебрежимо мало по сравнению с произведением , являющимся величиной конечной. Импульс обычной (неударной) силы за время ударабудет по сравнению с импульсом ударной силы очень мал и им можно пренебречь.

Окончательно получим:

. (8.1)

Основное уравнение теории удара: Изменение количества движения МТ за время удара равно действующему на эту МТ ударному импульсу.

Проектируя векторное равенство (8.1) на координатные оси, получим три следующих уравнения:

(8.2)

Итак, изменение проекции количества движения материальной точки на какую-нибудь неподвижную ось за время удара равно проекции на ту же ось действующего на эту точку ударного импульса.

Уравнение (8.1) – основное уравнение теории удара, которое играет такую же роль в явлении удара, как второй закон динамики при изучении движений под действием обычных сил.

Определим перемещение МТ за время удара.

Так как , где – радиус-вектор, определяющий положение данной МТ относительно некоторой системы отсчета, то уравнение (8.1) можно записать следующим образом:

Проинтегрировав это равенство в пределах от до , найдем:

, где есть среднее значение ударного импульса за время удара . Учитывая при этом, что и суть величины конечные, а - весьма мало, приходим к выводу, что будет близко к нулю и, следовательно, за время удара перемещение МТ практически равно нулю.

Таким образом, перемещением МТ за время удара можно пренебречь, считая, что за время удара эта МТ практически остается неподвижной, то есть не успевает переместиться.